Question

【题目】在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．

（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为 ．
（2）如图2，当α=60°，β=120°时，
①依题意补全图形；
②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，
请举出反例说明；
（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：

Answer 1

【答案】
（1）EB=EF
（2）

解：①补全图形如图2所示，

②结论依然成立EB=EF；

证法1：如图3，

过点E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠CAD=∠CAB．

∵EM⊥AF，EN⊥AB．

∴∠FME=∠N=90°，EM=EN，

∵∠BAD=60°，∠BEF=120°，

∴∠F+∠ABE=360°﹣∠BAD﹣∠BEF=180°．

∵∠ABE+∠EBN=180°，

∴∠F=∠EBN；

在△EFM与△EBN中，

∴△EFM≌△EBN．

∴EF=EB；

证法2：如图4，连接ED

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．

又∵AE=AE，

∴△ADE≌△ABE．

∴ED=EB，∠ADE=∠ABE，

又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．

∴∠F+∠ABE=180°．

又∵∠ADE+∠FDE=180°，

∴∠F=∠FDE．

∴EF=ED．

∴EF=EB．

（3）α+β=180°或 °
【解析】解：（1）EB=EF，所以答案是：EB=EF；（3）

如图3，由（2）的证法1知，△FEM≌△BEN，
∴∠FEM=∠BEN，
∴∠BEF=∠MEN，
在四边形AMEN中，∠BAC+∠MEN=180°，
∴∠BAC+∠BEF=180°，
∴α+β=180°
如图4，

由（2）的证法2知，△ADE≌△ABE，
∴∠ADE=∠ABE=γ，∠DAE=∠BAE= ，∠AEB=∠AED= ，
根据三角形的内角和得，∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，
∴ °．
所以答案是：α+β=180°或 °．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．