Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．
（1）求证：①AE=AG；②四边形AEFG为菱形．
（2）若AD=8，BD=6，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）求证AE=AG，只需证明在△AGE中，∠AEG=∠EGA即可，证明四边形AEFG为菱形，先证明其为平行四边形，然后再证明其为菱形．
（2）利用相似三角形求出对应边的长，再用平行线分线段成比例求出题中所求即可．

解答：证明：（1）①∵BG平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠ABE+∠AGE=90°，∠EBD+∠DEB=90°，∠GEA=∠BED，
∴∠AEG=∠EGA，
即AG=AE．
②∵GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC，
∴∠CFG=∠CDA=90°
∴AD∥GF，AG=GF，
又∵AG=AE，
∴AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴GF=AE，AG=EF
∵AG=AE
∴AG=GF=AE=EF
∴四边形AEFG为菱形
（2）由题意可知，在Rt△ABD中，AD=8，BD=6，
所以根据勾股定理得：AB=10，
因为∠CAB=∠ADB=90°，∠ABD=∠CBA（公共角），
所以△ABC∽△DBA，
故可求出AC=

40

3

，BC=

50

3

，
在△ADC中，设AG=GF=x，
由平行线分线段成比例可得x：AD=CG：AC，
即x：8=(

40

3

-x)：

40

3

，
解之得x=5，
所以AE的长为5．

点评：熟练掌握菱形的性质及判定定理，掌握角平分线的性质及相似三角形的性质．