Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AB交AC于E，延长DE至点F，使EF=AE，联结AF、BE和CF．

（1）求证：△EDC是等边三角形；

（2）找出图中所有的全等三角形，用符号“≌”表示，并对其中的一组加以证明；

（3）若BE⊥AC，试说明点D在BC上的位置．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

①根据等边三角形ABC，以及AB∥DF，可得；

②△ABC为等边三角形，所以AB=AC,又CD=CE,所以BD=AE=EF,可知△CDE△AEF为等边三角形，所以∠BDE=∠CEF,所以△BDE≌△EFC,从而得BE=CF,由SSS知△CBE≌△FDC,因为AB=CB=CF,AE=AF,∠BAE=∠EAF=60°，由SAS可知△ABE≌△ACF;

③若BE⊥AC，则E为AC中点，所以D在CB中点.

（1）证明：∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°

(等边三角形的每个内角都是60°)

又∵DE∥AB

∴∠EDC=∠ABC=60°,∠DEC=∠BAC=60°(两直线平行，同位角相等)

∴△EDC是等边三角形

（三个内角都是60°的三角形是等边三角形）

（2）图中的全等三角形有：

△ECF≌△DEB,△AEB≌△AFC，△BCE≌△FDC

完整地证出一组：△ABC为等边三角形，所以AB=AC,又CD=CE,所以BD=AE=EF,可知△CDE△AEF为等边三角形，所以∠BDE=∠CEF,所以△BDE≌△EFC.

（3）解：若BE⊥AC

又∵AB=BC．

∴E是AC的中点（等腰三角形的三线合一）．

即CE=AC．

∵CE=CD，AC=BC，

∴CD=BC．

∴点D是BC的中点．