Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）问t为何值时，PA=PB？

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

【答案】（1）当t=或13s时PA=PB；（2）当t=6s或13s或12s或 10.8s 时，△BCP为等腰三角形；（3）当t为4秒或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

【解析】

（1）分两种情况：点P在AC上和点P在AB上，分别根据移动的路程，求得时间t的值即可；

（2）分两种情况：①若P在边AC上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s；②若P在AB边上时，有三种可能：i若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm，用的时间为12时；ii）若CP=BC=6cm，过C作CD⊥AB于点D，根据面积法求得高CD=4.8cm，求出BP=2PD=7.2cm，得出P运动的路程为18-7.2=10.8cm，即可得出结果；ⅲ）若BP=CP，则∠PCB=∠B，证出PA=PC得出PA=PB=5cm，得出P的路程为13cm，即可得出结果；

（3）分两种情况：①当P、Q没相遇前：P点走过的路程为t，Q走过的路程为2t，根据题意得出方程，解方程即可；②当P、Q没相遇后：当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-8，AQ=2t-16，根据题意得出方程，解方程即可；即可得出结果.

解:（1）如图2，作AB的垂直平分线DE，交AB于E，交AC于D，连接DB，

则DA=DB，EA=EB，

∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴AC==8cm，

①当点P与点D重合时，PA=PB，

此时，CP=1t=t，AP=8﹣t=BP，

∴在Rt△BCP中，t2+62=（8﹣t）2，

解得t=；

②当点P与点E重合时，PA=PB，

此时，PA=PB=AB=5，

∴CA+AP=13，即1t=13，

解得t=13，

故当t=或13s时，△BCP为等腰三角形；

（2）如图3，若P在边AC上时，BC=CP=6cm，

此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；

若P在AB边上时，有三种情况：

①如图4，若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，

所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；

②如图5，若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，

根据面积法求得高为4.8cm，

根据勾股定理求得BP=7.2cm，

所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，

∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；

③如图6，若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，

∴∠ACP=∠CAP，

∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．

∴当t=6s或13s或12s或 10.8s 时，△BCP为等腰三角形；

（3）分两种情况：①当P、Q没相遇前：如图7,

P点走过的路程为tcm，Q走过的路程为2tcm，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t+2t=12，

∴t=4s；

②当P、Q相遇后：如图8,

当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t﹣8+2t﹣16=12，

∴t=12s，

故当t为4秒或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．