Question

19．已知：P是边长为4厘米的正方形ABCD的边BC上的点，且PC=1厘米，M是CD边上的一个动点，
（1）当线段DM等于多少厘米时△ADM和△MCP相似
（2）连接AP，求证：以线段AP为直径的圆和直线CD相切．

Answer 1

分析 （1）设DM=x，则CM=4-x，由于∠ADM=∠MCP，根据相似三角形的判定，当$\frac{AD}{MC}$=$\frac{MD}{PC}$时，△ADM∽△MCP或当$\frac{AD}{PC}$=$\frac{DM}{CM}$时，△ADM∽△PCM，然后分别利用比例性质求出对应的DM的值即可；
（2）取AP的中点O，作OH⊥CD为H，如图，先利用勾股定理计算出AP=5，则以AP为直径的圆的半径为2.5，再证明OH为梯形ADCP的中位线，所以OP=$\frac{1}{2}$（PC+AD）=2.5，然后根据切线的判定方法可判断以线段AP为直径的圆和直线CD相切．

解答 （1）解：设DM=x，则CM=4-x，
∵∠ADM=∠MCP，
∴当$\frac{AD}{MC}$=$\frac{MD}{PC}$时，△ADM∽△MCP，即$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{1}$，
整理得x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，即此时DM的长为2cm；
或当$\frac{AD}{PC}$=$\frac{DM}{CM}$时，△ADM∽△PCM，即$\frac{4}{1}$=$\frac{x}{4-x}$，解得x=$\frac{16}{5}$，即此时DM的长为$\frac{16}{5}$cm，
综上所述，当线段DM等于2cm或$\frac{16}{5}$cm时△ADM和△MCP相似；

（2）证明：取AP的中点O，作OH⊥CD为H，如图，
在Rt△ABP中，BP=3，AB=4，
∴AP=5，
∴以AP为直径的圆的半径为2.5，
∵OA=OB，OH⊥CD，
∴OH为梯形ADCP的中位线，
∴OP=$\frac{1}{2}$（PC+AD）=2.5，
∴点O到CD的距离等于圆的半径，
∴以线段AP为直径的圆和直线CD相切．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质和切线的性质．