Question

18． 点O在直线MN上，∠AOB=∠COD=90°．
（1）如图1，若OM平分∠AOC，∠BOC=150°，求∠BON的度数；
（2）如图2，若2∠AOM-∠MOC=90°，在∠BOC的内部作一条射线OP，使∠BOP：∠DOP=3：2，求∠PON与∠BOD的数量关系．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意，分别求出∠BOD、∠AOC的度数，然后根据OM平分∠AOC，求出∠AOM的度数，即可求出∠BON的度数是多少．
（2）根据题意，分两种情况：①当OP在OC、OD之间时；②当OP在OB、OD之间时；然后根据∠BOP：∠DOP=3：2，分类讨论，求出∠PON与∠BOD的数量关系即可．

解答 解：（1）如图1，，
∵∠BOC=150°，∠COD=90°，
∴∠BOD=150°-90°=60°，
∴∠AOC=360-90°-60°-90°=120°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=120°÷2=60°，
∴∠BON=180°-60°-90°=30°．

（2）①如图2，，
设∠AOM=x，
∵2∠AOM-∠MOC=90°，
∴∠MOC=2x-90°，
∴∠BOD=360°-90°-90°-（2x-90°+x）=270°-3x，
∴∠DON=180°-90°-（2x-90°）=180°-2x，
∵∠BOP：∠DOP=3：2，
∴∠BOD：∠DOP=1：2，
∴∠DOP=2∠BOD=2（270°-3x）=540°-6x，
∴∠PON=∠DOP+∠DON=（540°-6x）+（180°-2x）=720°-8x，
∵720°-8x=$\frac{8}{3}$（270°-3x），
∴∠PON=$\frac{8}{3}$∠BOD．

②如图3，，
设∠AOM=x，
∵2∠AOM-∠MOC=90°，
∴∠MOC=2x-90°，
∴∠BOD=360°-90°-90°-（2x-90°+x）=270°-3x，
∴∠DON=180°-90°-（2x-90°）=180°-2x，
∵∠BOP：∠DOP=3：2，
∴∠DOP=∠BOD×$\frac{2}{2+3}$=（270°-3x）×$\frac{2}{5}$=108°-1.2x，
∴∠PON=∠DON-∠DOP=（180°-2x）-（108°-1.2x）=72°-0.8x，
∵72°-0.8x=$\frac{4}{15}$（270°-3x），
∴∠PON=$\frac{4}{15}$∠BOD．
综上，可得
∠PON=$\frac{4}{15}$∠BOD或∠PON=$\frac{8}{3}$∠BOD．

点评 （1）此题主要考查了角的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚各个角之间的关系．
（2）此题还考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的平分线把这个角分成两个大小相同的角．