Question

【题目】如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，以AB为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F.

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)连接OC，交⊙O于点G，若AB＝8，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）已知△ABC为等边三角形，可得AC=BC，又因AC=CD，所以AC=BC=CD，即可判定△ABD为直角三角形，再根据切线的判定推出结论；（2）连接OE，分别求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面积，根据S阴影=S△AOC﹣S等边△AOE﹣S扇形EOG即可求得S．

试题解析：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AC=BC，

又∵AC=CD，

∴AC=BC=CD，

∴△ABD为直角三角形，

∴AB⊥AD，

∵AB为直径，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：连接OE，

∵OA=OE，∠BAC=60°，

∴△OAE是等边三角形，

∴∠AOE=60°，

∵CB=BA，OA=OB，

∴CO⊥AB，

∴∠AOC=90°，

∴∠EOC=30°，

∵△ABC是边长为4的等边三角形，

∴AO=2，由勾股定理得：OC=，

同理等边三角形AOE边AO上高是，

S阴影=S△AOC﹣S等边△AOE﹣S扇形EOG=．