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【题目】如图,在矩形ABCD中,∠ADC的平分线与AB交于E,点FDE的延长线上,∠BFE=90°,连接AF、CF,CFAB交于G.有以下结论:

①AE=BC

②AF=CF

③BF2=FGFC

④EGAE=BGAB

其中正确的个数是(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

①只要证明ADE为等腰直角三角形即可

②只要证明AEF≌△CBF(SAS)即可;

③假设BF2=FGFC,则FBG∽△FCB,推出∠FBG=FCB=45°,由∠ACF=45°,推出∠ACB=90°,显然不可能,故③错误,

④由ADF∽△GBF,可得,由EGCD,推出,推出,由AD=AE,EGAE=BGAB,故④正确,

DE平分∠ADC,ADC为直角,

∴∠ADE=×90°=45°,

∴△ADE为等腰直角三角形,

AD=AE,

又∵四边形ABCD矩形,

AD=BC,

AE=BC

②∵∠BFE=90°BFE=AED=45°

∴△BFE为等腰直角三角形,

∴则有EF=BF

又∵∠AEF=DFB+ABF=135°CBF=ABC+ABF=135°

∴∠AEF=CBF

AEFCBF中,AE=BC,AEF=CBF,EF=BF,

∴△AEF≌△CBF(SAS)

AF=CF

③假设BF2=FGFC,则FBG∽△FCB,

∴∠FBG=FCB=45°

∵∠ACF=45°

∴∠ACB=90°,显然不可能,故③错误,

④∵∠BGF=180°-CGB,DAF=90°+EAF=90°+(90°-AGF)=180°-AGF,AGF=BGC,

∴∠DAF=BGF,∵∠ADF=FBG=45°

∴△ADF∽△GBF,

EGCD,

AD=AE,

EGAE=BGAB,故④正确,

故选C.

练习册系列答案
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【题目】已知∠AOB=30°,P是OA上的一点,OP=24cm,以r为半径作⊙P.

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探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:

证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.

∵AD=2AB,∴AD=AE.

四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.

.(依据1)

∵BE=AB,∴.∴EM=DM.

AM△ADEDE边上的中线,

∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依据2)

∴AM垂直平分DE.

反思交流:

(1)①上述证明过程中的依据1”“依据2”分别是指什么?

试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;

(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;

探索发现:

(3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.

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【题目】如图,边长为2的正△ABC的边BC在直线l上,两条距离为l的平行直线ab垂直于直线l,ab同时向右移动(a的起始位置在B点),速度均为每秒1个单位,运动时间为t(秒),直到b到达C点停止,在ab向右移动的过程中,记△ABC夹在ab之间的部分的面积为s,则s关于t的函数图象大致为(  )

A. B. C. D.

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【题目】如图,长方形ABCD在平面直角坐标系中,点A18),B16),C76),点XY分别在xy轴上.

1)请直接写出D点的坐标

2)连接OBODODBC于点E,∠BOY的平分线和∠BEO的平分线交于点F,若∠BOEn,求∠OFE的度数.

3)若长方形ABCD以每秒个单位的速度向下运动,设运动时间为t秒,问在第一象限内是否存在某一时刻t,使△OBD的面积等于长方形ABCD的面积的?若存在,请求出t的值,若不存在,请说明理由。

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1)如图1,求证:ADDE

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①若DEACCF6,求BF的长;

②求证:DFEF

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