Question

【题目】如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．(友情提醒：正方形的四条边都相等，即AB＝BC＝CD＝DA；四个内角都是90°，即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°)

（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，求出BE的长．(用含x的代数式表式)

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH∠EPB=∠EBC∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）解：△PHD的周长不变为定值8．

证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q.

由(1)知∠APB=∠BPH，

∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．

∴AP=QP，AB=BQ．

∵AB=BC，

∴BC=BQ．

∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8

（3）解：如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．

∵EF为折痕，

∴EF⊥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP．

又∵∠A=∠EMF=90°，

∴△EFM≌△BPA．

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，

(4BE)2+x2=BE2．

解得：

【解析】（1）根据折叠的性质，由PE=BE，得到PE=BE，根据对边对等角得到∠EBP=∠EPB，又∠EPH=∠EBC=90°，得到∠PBC=∠BPH；由AD∥BC，得到∠APB=∠BPH；（2）由(1)知∠APB=∠BPH，根据AAS得到△ABP≌△QBP；得到对应边相等AP=QP，AB=BQ；由AB=BC，得到△BCH≌△BQH，得到CH=QH，求出△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD；（3）根据折叠的性质，得到△EFM≌△BPA，得到对应边EM=AP，在Rt△APE中，根据勾股定理得到BE的代数式.