Question

【题目】菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是；

（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；

（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且 = 时，直接写出线段CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）等腰直角三角形
（2）△OEF是等边三角形；

证明：如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，

∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，

∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，

∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，

∴∠GOH+∠BCD=180°，

∴∠MON+∠BCD=180°，

∴∠GOH=∠EOF=60°，

∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，

∴∠EOG=∠FOH，

在△EOG与△FOH中，

，

∴△EOG≌△FOH（ASA），

∴OE=OF，

∴△OEF是等边三角形

（3）证明：如图3，

∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴ = ，

过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，

∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，

∴四边形O′GCH是矩形，

∴O′G∥AB，O′H∥AD，

∴ = = = ，

∵AB=BC=CD=AD=4，

∴O′G=O′H=3，

∴四边形O′GCH是正方形，

∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°

∵∠MO′N+∠BCD=180°，

∴∠EO′F=90°，

∴∠EO′F=∠GO′H=90°，

∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，

∴∠EO′G=∠FO′H，

在△EO′G与△FO′H中，

，

∴△EO′G≌△FO′H（ASA），

∴O′E=O′F，

∴△O′EF是等腰直角三角形；

∵S正方形ABCD=4×4=16， = ，

∴S△O′EF=18，

∵S△O′EF= O′E2，

∴O′E=6，

在RT△O′EG中，EG= = =3 ，

∴CE=CG+EG=3+3 ．

根据对称性可知，当∠M′ON′旋转到如图所示位置时，

CE′=E′G﹣CG=3 ﹣3．

综上可得，线段CE的长为3+3 或3 ﹣3．

【解析】（1）△OEF是等腰直角三角形；

证明：如图1，

∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，

∴∠BOE+∠COE=90°，

∵∠MON+∠BCD=180°，

∴∠MON=90°，

∴∠COF+∠COE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE与△COF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，

∴△OEF是等腰直角三角形；
（2）△OEF是等边三角形；

证明：如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，

∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，

∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，

∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，

∴∠GOH+∠BCD=180°，

∴∠MON+∠BCD=180°，

∴∠GOH=∠EOF=60°，

∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，

∴∠EOG=∠FOH，

在△EOG与△FOH中，

，

∴△EOG≌△FOH（ASA），

∴OE=OF，

∴△OEF是等边三角形
（3）证明：如图3，

∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴ = ，

过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，

∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，

∴四边形O′GCH是矩形，

∴O′G∥AB，O′H∥AD，

∴ = = = ，

∵AB=BC=CD=AD=4，

∴O′G=O′H=3，

∴四边形O′GCH是正方形，

∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°

∵∠MO′N+∠BCD=180°，

∴∠EO′F=90°，

∴∠EO′F=∠GO′H=90°，

∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，

∴∠EO′G=∠FO′H，

在△EO′G与△FO′H中，

，

∴△EO′G≌△FO′H（ASA），

∴O′E=O′F，

∴△O′EF是等腰直角三角形；

∵S正方形ABCD=4×4=16， = ，

∴S△O′EF=18，

∵S△O′EF= O′E2，

∴O′E=6，

在RT△O′EG中，EG= = =3 ，

∴CE=CG+EG=3+3 ．

根据对称性可知，当∠M′ON′旋转到如图所示位置时，

CE′=E′G﹣CG=3 ﹣3．

综上可得，线段CE的长为3+3 或3 ﹣3．

所以答案是：（1）等腰直角三角形；（2）见解答过程；（3）3+3 或3 ﹣3．