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【题目】在平面直角坐标中,四边形OCNM为矩形,如图1M点坐标为(m0),C点坐标为(0n),已知mn满足

1)求mn的值;

2)①如图1PQ分别为OMMN上一点,若∠PCQ45°,求证:PQOP+NQ

②如图2SGRH分别为OCOMMNNC上一点,SRHG交于点D.若∠SDG135°,则RS______

3)如图3,在矩形OABC中,OA5OC3,点F在边BC上且OFOA,连接AF,动点P在线段OF是(动点POF不重合),动点Q在线段OA的延长线上,且AQFP,连接PQAF于点N,作PMAFM.试问:当PQ在移动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若不变求出线段MN的长度;若变化,请说明理由.

【答案】1m5n=5;(2)①证明见解析;②;(3MN的长度不会发生变化,它的长度为

【解析】

1)利用非负数的性质即可解决问题.

2作辅助线,构建两个三角形全等,证明△COE≌△CNQ△ECP≌△QCP,由PEPQOE+OP,得出结论;

作辅助线,构建平行四边形和全等三角形,可得CSRECFGH,则CESRCFGH,证明△CEN≌△CE′O△E′CF≌△ECF,得EFE′F,设ENx,在Rt△MEF中,根据勾股定理列方程求出EN的长,再利用勾股定理求CE,则SRCE相等,所以SR

3)在(1)的条件下,当PQ在移动过程中线段MN的长度不会发生变化,求出MN的长即可;如图4,过PPD∥OQ,证明△PDF是等腰三角形,由三线合一得:DMFD,证明△PND≌△QNA,得DNAD,则MNAF,求出AF的长即可解决问题.

解:(1

≥0|5m|≥0

∴n505m0

∴m5n=5

2如图1中,在PO的延长线上取一点E,使NQOE

∵CNOMOCMN∠COM90°

四边形OMNC是正方形,

∴COCN

∵∠EOC∠N90°

∴△COE≌△CNQSAS),

∴CQCE∠ECO∠QCN

∵∠PCQ45°

∴∠QCN+∠OCP90°45°45°

∴∠ECP∠ECO+∠OCP45°

∴∠ECP∠PCQ

∵CPCP

∴△ECP≌△QCPSAS),

∴EPPQ

∵EPEO+OPNQ+OP

∴PQOP+NQ

如图2中,过CCE∥SR,在x轴负半轴上取一点E′,使OE′EN,得CSRE,且△CEN≌△CE′O,则CESR

CCF∥GHOMF,连接FE,得CFGH,则CFGH

∵∠SDG135°

∴∠SDH180°135°45°

∴∠FCE∠SDH45°

∴∠NCE+∠OCF45°

∵△CEN≌△CE′O

∴∠E′CO∠ECNCECE′

∴∠E′CF∠E′CO+∠OCF45°

∴∠E′CF∠FCE

∵CFCF

∴△E′CF≌△ECFSAS),

∴E′FEF

Rt△COF中,OC5FC

由勾股定理得:OF

∴FM5

ENx,则EM5xFEE′Fx+

则(x+2=(2+5x2

解得:x

∴EN

由勾股定理得:CE

∴SRCE

故答案为

3)当PQ在移动过程中线段MN的长度不会发生变化.

理由:如图3中,过PPD∥OQ,交AFD

∵OFOA

∴∠OFA∠OAF∠PDF

∴PFPD

∵PFAQ

∴PDAQ

∵PM⊥AF

∴DMFD

∵PD∥OQ

∴∠DPN∠PQA

∵∠PND∠QNA

∴△PND≌△QNAAAS),

∴DNAN

∴DNAD

∴MNDM+DNDF+ADAF

∵OFOA5OC3

∴CF

∴BFBCCF541

∴AF

∴MNAF

PQ在移动过程中线段MN的长度不会发生变化,它的长度为

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问题的解决:

(2)当点P到锐角ABC的三项点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时,请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置:_____________________________

问题的延伸:

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