【题目】在平面直角坐标中,四边形OCNM为矩形,如图1,M点坐标为(m,0),C点坐标为(0,n),已知m,n满足.
(1)求m,n的值;
(2)①如图1,P,Q分别为OM,MN上一点,若∠PCQ=45°,求证:PQ=OP+NQ;
②如图2,S,G,R,H分别为OC,OM,MN,NC上一点,SR,HG交于点D.若∠SDG=135°,,则RS=______;
(3)如图3,在矩形OABC中,OA=5,OC=3,点F在边BC上且OF=OA,连接AF,动点P在线段OF是(动点P与O,F不重合),动点Q在线段OA的延长线上,且AQ=FP,连接PQ交AF于点N,作PM⊥AF于M.试问:当P,Q在移动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若不变求出线段MN的长度;若变化,请说明理由.
【答案】(1)m=5,n=5;(2)①证明见解析;②;(3)MN的长度不会发生变化,它的长度为.
【解析】
(1)利用非负数的性质即可解决问题.
(2)①作辅助线,构建两个三角形全等,证明△COE≌△CNQ和△ECP≌△QCP,由PE=PQ=OE+OP,得出结论;
②作辅助线,构建平行四边形和全等三角形,可得CSRE和CFGH,则CE=SR,CF=GH,证明△CEN≌△CE′O和△E′CF≌△ECF,得EF=E′F,设EN=x,在Rt△MEF中,根据勾股定理列方程求出EN的长,再利用勾股定理求CE,则SR与CE相等,所以SR= ;
(3)在(1)的条件下,当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化,求出MN的长即可;如图4,过P作PD∥OQ,证明△PDF是等腰三角形,由三线合一得:DM=FD,证明△PND≌△QNA,得DN=AD,则MN=AF,求出AF的长即可解决问题.
解:(1)∵ ,
又∵≥0,|5﹣m|≥0,
∴n﹣5=0,5﹣m=0,
∴m=5,n=5.
(2)①如图1中,在PO的延长线上取一点E,使NQ=OE,
∵CN=OM=OC=MN,∠COM=90°,
∴四边形OMNC是正方形,
∴CO=CN,
∵∠EOC=∠N=90°,
∴△COE≌△CNQ(SAS),
∴CQ=CE,∠ECO=∠QCN,
∵∠PCQ=45°,
∴∠QCN+∠OCP=90°﹣45°=45°,
∴∠ECP=∠ECO+∠OCP=45°,
∴∠ECP=∠PCQ,
∵CP=CP,
∴△ECP≌△QCP(SAS),
∴EP=PQ,
∵EP=EO+OP=NQ+OP,
∴PQ=OP+NQ.
②如图2中,过C作CE∥SR,在x轴负半轴上取一点E′,使OE′=EN,得CSRE,且△CEN≌△CE′O,则CE=SR,
过C作CF∥GH交OM于F,连接FE,得CFGH,则CF=GH=,
∵∠SDG=135°,
∴∠SDH=180°﹣135°=45°,
∴∠FCE=∠SDH=45°,
∴∠NCE+∠OCF=
∵△CEN≌△CE′O,
∴∠E′CO=∠ECN,CE=CE′,
∴∠E′CF=∠E′CO+∠OCF=45°,
∴∠E′CF=∠FCE,
∵CF=CF,
∴△E′CF≌△ECF(SAS),
∴E′F=EF
在Rt△COF中,OC=5,FC=,
由勾股定理得:OF= =,
∴FM=5﹣=,
设EN=x,则EM=5﹣x,FE=E′F=x+,
则(x+)2=()2+(5﹣x)2,
解得:x=,
∴EN=,
由勾股定理得:CE= =,
∴SR=CE=.
故答案为.
(3)当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化.
理由:如图3中,过P作PD∥OQ,交AF于D.
∵OF=OA,
∴∠OFA=∠OAF=∠PDF,
∴PF=PD,
∵PF=AQ,
∴PD=AQ,
∵PM⊥AF,
∴DM=FD,
∵PD∥OQ,
∴∠DPN=∠PQA,
∵∠PND=∠QNA,
∴△PND≌△QNA(AAS),
∴DN=AN,
∴DN=AD,
∴MN=DM+DN=DF+AD=AF,
∵OF=OA=5,OC=3,
∴CF=,
∴BF=BC﹣CF=5﹣4=1,
∴AF=,
∴MN=AF=,
∴当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化,它的长度为.
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【题目】问题的提出:
如果点P是锐角△ABC内一动点,如何确定一个位置,使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小?
问题的转化:
(1)把ΔAPC绕点A逆时针旋转60度得到连接这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了,请你利用如图证明:
;
问题的解决:
(2)当点P到锐角△ABC的三项点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时,请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置:_____________________________;
问题的延伸:
(3)如图是有一个锐角为30°的直角三角形,如果斜边为2,点P是这个三角形内一动点,请你利用以上方法,求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值.
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【题目】如图,O是等边△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;&
②点O与O′的距离为4;
③∠AOB=150°;
④四边形AOBO′的面积为6+3 ;
⑤S△AOC+S△AOB=6+.
其中正确的结论是_______________.
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【题目】青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖,准备为困难村民购买一些米面.已知购买1袋大米、4袋面粉,共需240元;购买2袋大米、1袋面粉,共需165元.
(1)求每袋大米和面粉各多少元?
(2)如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋,总费用不超过2140元,那么至少购买多少袋面粉?
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【题目】如图,直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点,抛物线经过点B,与直线y=x-3交于点E(8,5),且与x轴交于C,D两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上有一点M,当∠MBE=75°时,求点M的横坐标;
(3)点P在抛物线上,在坐标平面内是否存在点Q,使得以点P,Q,B,C为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某初中对 600 名毕业生中考体育测试坐位体前屈成绩进行整理,绘制成 如下不完整的统计图:
根据统计图,回答下列问题。
(1)请将条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中,b= ,得 8 分所对应扇形的圆心角度数为 ;
(3)在本次调查的学生中,随机抽取 1 名男生,他的成绩不低于 9 分的概率为多少?
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【题目】如图,AM为⊙O的切线,A为切点,过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D,BD交⊙O于C,OC平分∠AOB.
(1)求∠AOB的度数;
(2)若线段CD的长为2cm,求的长度.
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【题目】已知关于x的一元二次方程,
(1)求证:该一元二次方程总有两个实数根;
(2)若该方程只有一个小于4的根,求m的取值范围;
(3)若x1,x2为方程的两个根,且n=x12+x22﹣4,判断动点所形成的数图象是否经过点,并说明理由.
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【题目】在一个不透明的盒子里有5个小球,分别标有数字﹣3,﹣2,﹣1,﹣,﹣,这些小球除所标的数不同外其余都相同,先从盒子随机摸出1个球,记下所标的数,再从剩下的球中随机摸出1个球,记下所标的数.
(1)用画树状图或列表的方法求两次摸出的球所标的数之积不大于1的概率.
(2)若以第一次摸出球上的数字为横坐标,第二次摸出球上的数字为纵坐标确定一点,直接写出该点在双曲线y=上的概率.
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