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【题目】已知关于x的一元二次方程

1)求证:该一元二次方程总有两个实数根;

2)若该方程只有一个小于4的根,求m的取值范围;

3)若x1x2为方程的两个根,且nx12+x224,判断动点所形成的数图象是否经过点,并说明理由.

【答案】1)证明见解析;(2m2;(3)经过,理由见解析.

【解析】

1)由=[-m+4]2-42m+4=m2≥0知方程有两个实数根;

2)由一元二次方程的求根公式得出方程的两个根,由于其中一个等于2,已经小于4,故令另外一个含有m的根大于等于4,即可求出m的值;

3)先由一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=m+4x1x2=2m+4,代入n=x12+x22-4,从而将动点Pmn)仅用含m的代数式表示,再将点A-59)代入验证即可.

1)证明:∵b24ac[﹣(m+4]242m+4)=m2≥0

∴该一元二次方程总有两个实数根;

2)解:∵关于x的一元二次方程x2﹣(m+4x+2m+40

a1b=﹣(m+4),c2m+4

∴由一元二次方程的求根公式得:x

x1m+2x22

∵该方程只有一个小于4的根

m+2≥4

m≥2

3)∵x1+x2m+4x1x22m+4

nx12+x224

2x1x24

=(m+4222m+4)﹣4

m2+4m+4

∴动点Pmn)可表示为(mm2+4m+4

∴当m=﹣5时,m2+4m+42520+49

∴动点Pmn)所形成的数图象经过点A(﹣59).

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