Question

1．已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，∠EDC=45°，过点E作DE的垂线，交DC于M，交BA延长线于N．若NE：MC=$\sqrt{2}$：3，BD=5，则BC=10．

Answer 1

分析 过点M作MF⊥MN交CE于点F，证明△DEN≌△EMF，所以MF=NE，令NE=$\sqrt{2}$a，所以MC=3a，MF=$\sqrt{2}$a，过点F作FH⊥CD于H，证得$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，再过D作DG⊥BC于G，
用面积法可证：$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}$，所以$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，即可解答BC=10．

解答 解：如图，过点M作MF⊥MN交CE于点F，

∵∠EDC=45°，DE⊥MN，
∴∠EDM=∠EMD，
∴DE=ME，
∵∠AEN+∠N=90°，∠FEM+∠EFM=90°，∠AEN=∠FEM，
∴∠N=∠EFM，
在△DEN和△EMF，
$\left\{\begin{array}{l}{∠N=∠EFM}\\{∠DEN=∠EMF}\\{DE=EM}\end{array}\right.$，
∴△DEN≌△EMF，
∴MF=NE，
令NE=$\sqrt{2}$a，
∴MC=3a，MF=$\sqrt{2}$a，
过点F作FH⊥CD于H，
∴∠FMC=45°，
∴FH=MH=a，
∴tan∠ACD=$\frac{FH}{CH}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
过D作DG⊥BC于G，
用面积法可证：$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵BD=5，
∴BC=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．