Question

6．如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于D，BE与⊙O切于点B，且CE⊥BE．
（1）求证：BD=CE；
（2）若CD=2，BE=6，求OC的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，利用圆周角定理，垂直定义，切线性质可得∠ADB=∠CEB=∠ABE=90°，等量代换可得∠1=∠3，易得△ABD≌△CBE，得出结论；
（2）作CF⊥AB交AB于F点，由全等三角形的性质及勾股定理得BD，CE，易得CF，OF，由勾股定理可得结果．

解答 （1）证明：如图1，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥BE，BE是⊙O的切线，
∴∠ADB=∠CEB=∠ABE=90°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABD与△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BEC}\\{∠1=∠3}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BD=CE；

（2）解：如图2，作CF⊥AB交AB于F点，
由（1）可知，BD=CE=x，
在Rt△CEB中，BC²=CE²+BE²，
∵CD=2，BE=6，
∴（2+x）²=x²+6²，
∴x=8，
∴AB=BC=10，BO=AO=5，CE=BD=BF=8，
∴AF=2，OF=OA-AF=3，CF=BE=6，
在Rt△CFO中CO²=CF²+FO²，
∴CO=$\sqrt{{6}^{2}{+3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$

点评 本题考查了切线的性质和圆周角定理，通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形是解答此题的关键．