Question

已知等腰△ABC的腰AB=AC=10，BC=12，若以BC为中点为圆心做圆，当半径r满足什么条件，该圆与两腰所在直线
（1）相离？
（2）相切？
（3）相交？

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题

分析：过BC的中点0作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连接AO，如图，根据等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，在Rt△AOB中利用勾股定理计算出AO=8，再利用面积法计算出OD=

24

5

，再根据角平分线的性质得OE=OD=

24

5

，然后根据直线和圆的位置关系的判定方法求解．

解答：解：过BC的中点0作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连接AO，如图，
∵AB=AC，点O为BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
在Rt△AOB中，∵AB=10，OB=

1

2

BC=6，
∴AO=

AB2-OB2

=8，
∵

1

2

•OD•AB=

1

2

AO•OB，
∴OD=

6×8

10

=

24

5

，
而AO为∠BAC的平分线，
∴OE=OD=

24

5

，
（1）当0＜r＜

24

5

时，该圆与两腰所在直线相离；
（2）当r=

24

5

时，该圆与两腰所在直线相切；
（3）当r＞

24

5

时，该圆与两腰所在直线相交．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了等腰三角形的性质．