Question

10．夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价；
（2）若甲种空调每台售价2500元，乙种空调每台售价1800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1100元/台的A型按摩器和700元/台的B型按摩器．直接写出购买按摩器的方案．

Answer 1

分析 （1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为（x+500）元，根据用40000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据甲种空调x台，得到乙中空调（20-x）台，由售价-进价=利润表示出y与x的函数解析式即可；
（3）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（20-n）台，根据商场计划用不超过36000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，求出n的范围，求出最大利润，即可确定出购买方案．

解答 解：（1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为（x+500）元，
根据题意得：$\frac{40000}{x+500}$=$\frac{30000}{x}$，
去分母得：40000x=30000x+15000000，
解得：x=1500，
经检验x=1500是分式方程的解，且x+500=2000，
则甲、乙两种空调每台进价分别为2000元，1500元；
（2）根据题意得：y=（2500-2000）x+（1800-1500）（20-x）=200x+6000；
（3）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（20-n）台，
根据题意得：2000n+1500（20-n）≤36000，且n≥10，
解得：10≤n≤12，
当n=12时，最大利润为8400元，
设购买A型按摩器a台，购买B型按摩器b台，则1100a+700b=8400，
有两种购买方案：①A型0台，B型12台；②A型7台，B型1台．

点评 此题考查了一次函数的意义，分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．