Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．
（1）求证：△AOP是等腰三角形；
（2）求证：PE⊥AO．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定

专题：证明题

分析：（1）利用等角的余角相等得到∠BOC=∠APB，再利用对顶角相等，等量代换得到∠AOP=∠APB，利用等角对等边即可得证；
（2）如图，过点O作OD⊥AB于D，由BP为角平分线，利用角平分线定理得到OC=OD，根据AE=OD，等量代换得到AE=OD，利用同角的余角相等得到夹角相等，利用SAS得到三角形AOD与三角形PAE全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．

解答：证明：（1）∵∠C=90°，∠BAP=90°，
∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠CBO=∠ABP，
∴∠BOC=∠APB，
∵∠BOC=∠AOP，
∴∠AOP=∠APB，
∴AP=AO，
∴△AOP是等腰三角形；
（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO=∠ABP，OC⊥BC，OD⊥BA，
∴CO=DO，
∵AE=OC，
∴AE=OD，
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，
∴∠AOD=∠PAE，
在△AOD和△PAE中，

AE=OD ∠AOD=∠PAE AP=AO

，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP=∠ADO=90°，
∴PE⊥AO．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．