Question

如图所示，△ABC中，AC=BC，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，作直线DF⊥AC交AC于点F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF四⊙O的切线；
（2）若BC=6，AB=4

3

，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OD，如图，通过证明OD∥AC，加上DF⊥AC，于是可得到DF⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DF为⊙O的切线；，
（2）连结CD，作DH⊥BC于H，如图，先利用圆周角定理得到∠BDC=90°，则根据等腰三角形的性质得BD=AD=

1

2

AB=2

3

，在Rt△BDC中可利用勾股定理计算出CD=2

6

，再利用面积法克计算出DH=2

2

，接着根据勾股定理计算出OH=1，然后证明Rt△ODH∽Rt△OED，利用相似比可计算出DE．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠A，
∴OD∥AC，
而DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：连结CD，作DH⊥BC于H，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
而CA=CB，
∴BD=AD=

1

2

AB=2

3

，
在Rt△BDC中，CD=

BC2-BD2

=2

6

，
∵

1

2

DH•BC=

1

2

DE•CD，
∴DH=

2 3 ×2 6

6

=2

2

，
在Rt△ODH中，OH=

OD2-DH2

=1，
∵∠DOH=∠EOD，
∴Rt△ODH∽Rt△OED，
∴

DH

DE

=

OH

OD

，即

2 2

DE

=

1

3

，
∴DE=6

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．