Question

14．如图，正方形ABCD中，已知AB=2，动点P、Q分别在AC、CD上，且AP=CQ，则（BP+BQ）²的最小值是8+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建一直线与BP相等，找到（BP+BQ）²的最小值时点Q的位置，先证明△ABP≌△CFQ，则BP=FQ，发现当B、Q、F三点共线时，BQ+FQ最小，即BP+BQ最小，利用勾股定理求出BF²即可．

解答 解：过C作CF⊥AC，使CF=AB，连接FQ、BF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠ACD=45°，
∴∠QCF=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠QCF=45°，
∵AB=CF，AP=CQ，
∴△ABP≌△CFQ，
∴BP=FQ，
∴BP+BQ=FQ+BQ≥BF，
当B、Q、F三点共线时，BQ+FQ最小，即BP+BQ最小，
此时过F作FH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵∠DCH=90°，∠QCF=45°，
∴∠FCH=45°，
∵∠CHF=90°，
∴△CFH是等腰直角三角形，
∵CF=AB=2，
∴CH=FH=$\sqrt{2}$，
在Rt△BFH中，BF²=BH²+FH²=（2+$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=8+4$\sqrt{2}$，
∴（BP+BQ）²的最小值是8+4$\sqrt{2}$；
故答案为：8+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质和最短路径问题，作辅助线，构建全等三角形，将线段BP转化到线段FQ上是本题的关键，利用了三角形的三边关系和勾股定理解决此题．