Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则$\frac{b}{a}$的值等于$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=b，AD=OE=a，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出$\frac{b}{a}$的值．

解答 解：过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAD=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BAD=∠AOE，
在△AOE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠BAD}\\{∠AEO=∠BDA=90°}\\{AO=BA}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE=BD=b，OE=AD=a，
∴DE=AE-AD=b-a，OE+BD=a+b，
则B（a+b，b-a）；
∵A与B都在反比例图象上，得到ab=（a+b）（b-a），
整理得：b²-a²=ab，即（$\frac{b}{a}$）²-$\frac{b}{a}$-1=0，
∵△=1+4=5，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵点A（a，b）为第一象限内一点，
∴a＞0，b＞0，
则$\frac{b}{a}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．