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【题目】如图,AB是⊙O的弦,OPOAAB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CPCB

1)求证:BC是⊙O的切线;

2)若OA5OP3,求CB的长;

3)设AOP的面积是S1BCP的面积是S2,且.若⊙O的半径为4BP,求tanCBP

【答案】1)见解析;(22

【解析】

1)连接OB,由OPOA,得∠A+APO90°;由CPCB,得∠CBP=∠CPB;再由OAOB,得∠A=∠OBA,而∠CPB=∠APO,整理变形可得∠OBC90°,即BC是⊙O的切线;

2)设BCx,则PCx,在RtOBC中,由勾股定理可得关于x的方程

52+x2=(x+32,解方程即可求出CB的长;

3)作CDBPD,由PCPB,得PDBDPB,易证AOP∽△PCD,则由,可得,即,由此可求CD的长,再在RtBCD中,按照正切定义求出tanCBP即可.

1)证明:连接OB,如图,

OPOA

∴∠AOP90°

∴∠A+APO90°

CPCB

∴∠CBP=∠CPB

而∠CPB=∠APO

∴∠APO=∠CBP

OAOB

∴∠A=∠OBA

∴∠OBC=∠CBP+OBA=∠APO+A90°

OBBC

BC是⊙O的切线;

2)解:设BCx,则PCx

RtOBC中,OBOA5OCCP+OPx+3

OB2+BC2OC2

52+x2=(x+32

解得x

BC的长为

3)解:如图,作CDBPD

PCPB

PDBDPB

∵∠PDC=∠AOP90°,∠APO=∠CPD

∴△AOP∽△PCD

OA4

CD

tanCBP2

练习册系列答案
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