Question

1．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠CED=90°；
（2）若AB=13，sin∠C=$\frac{5}{13}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可得到∠CDE=90°；
（2）连接AD，易证△CED∽△BDA，由相似三角形的性质可得CE和BD，CD，AB的数量关系，AB的长已知，再求出CD，BD的长即可求出CE的长．

解答 （1）证明：如图，连接OD，
∵DE切⊙O于D，OD是⊙O的半径，
∴∠EDO=90°．                                   
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴DO∥AC，
∴∠CED=∠EDO=90°．                       
（2）解：如图，连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．     
在Rt△CED和Rt△BDA中，
∠C=∠ABC，∠DEC=∠ADB=90°，
∴△CED∽△BDA，
∴$\frac{CE}{BD}$=$\frac{CD}{AB}$，
∴$CE=\frac{BD•CD}{AB}$．                                
∵AB=AC=13，AD⊥BC，
∴sin∠ABC=$\frac{AD}{AB}$=sin∠C=$\frac{5}{13}$，
∴AD=$\frac{5}{13}$AB=5，
∴CD=BD=$\sqrt{A{B^2}-A{D^2}}$=12．
∴$CE=\frac{12×12}{13}$=$\frac{144}{13}$．

点评 本题综合考查了切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握和圆有关的各种性质定理，并且能够熟练运用．