Question

如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。(本题7分)

Answer 1

F=20000×5=100000元

分析：作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省。
解答：

作点A关于河CD的对称点A′，连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB。
∵点A与点A′关于CD对称，
∴OA′=OA，A′C=AC=1，
∴OA+OB=OA′+OB=A′B．
过点A′作A′E⊥BD于E，则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4，
∴在Rt△A′BE中，A′B²= A^′E²+BE²=25，
∴A′B=5（千米）
∴20000×5=100000（元）。
点评：要使铺设管道的费用最省，由于铺设管道每千米的费用一定，为2000元，即转化为求铺设管道的长度最短的值．运用轴对称的性质，将点A转化到点A′，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边。