Question

类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
（1）如图1，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，则BD=

 

；
（2）尝试探究：如图2，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，点E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1：3，求CD的长；
（3）类比延伸：利用图3探究，当A、C两点分别在直径MN两侧，且AB≠CD，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°时，请写出线段AB、CD、BD之间的数量关系并证明．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）先利用等角的余角相等得到∠A=∠DOC，再根据“AAS”可判断△ABO≌△ODC，则AB=OD=3，OB=CD=4，所以BD=OB+OD=7；
（2）先利用BD=8，BE：DE=1：3计算出BE=

1

4

BD=2，DE=

3

4

BD=6，再证明Rt△ABE∽Rt△EDC，然后利用相似比可计算出CD=4；
（3）分类讨论：如图3（a），与（1）一样可证明△ABO≌△ODC，则OB=CD，AB=OD，于是有BD=CD-AB；如图3（b）与（1）一样可证△ABO≌△ODC，则AB=OD，OB=CD，所以BD=AB-CD．

解答：解：（1）∵AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，
∴∠ABO=∠ODC=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠DOC+∠AOB=90°，
∴∠A=∠DOC，
在△ABO和△ODC中，

∠ABO=∠ODC ∠A=∠DOC OA=OC

，
∴△ABO≌△ODC，
∴AB=OD=3，OB=CD=4，
∴BD=OB+OD=7；
故答案为7；

（2）∵BD=8，BE：DE=1：3，
∴BE=

1

4

BD=2，DE=

3

4

BD=6，
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴∠ABE=∠CDE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEC=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
∴Rt△ABE∽Rt△EDC，
∴

AB

DE

=

BE

CD

，即

3

6

=

2

CD

，
∴CD=4；

（3）如图3（a），与（1）一样可证明△ABO≌△ODC，则OB=CD，AB=OD，所以BD=CD-AB；
如图3（b）可证△ABO≌△ODC，则AB=OD，OB=CD，所以BD=AB-CD．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握与圆有关的性质和三角形全等的判定与性质；会运用相似三角形的性质计算线段的长；会运用类比、转化、分类讨论等思想方法．