Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形AOCD的顶点为 O（0，0），A（0，2），D（1，2），C（3，0），点P在OC上运动（O、C两点除外），设PC=x，四边形AOPD的面积为y．
（1）求CD的长；
（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果以D为圆心、以

1

2

AD长为半径作⊙D，以P为圆心、以PC长为半径作⊙P．当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出两圆相切时四边形AOPD的面积．

Answer 1

分析：（1）如图作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求出CD的长；
（2）由矩形的性质可以得出DE=AB，由勾股定理可以得出EC的值，进而表示出EP．从而求出BP，再根据梯形的面积公式可以表示出梯形的面积就可以表示出y与x之间的函数的关系式．由点P不与B、C重合，从而可以得出x的范围．
（3）设PC=x时，⊙D与⊙P外切或内切时，分别分析求出x的值，代入（2）的解析式就可以求出四边形ABPD的面积．

解答：解：（1）过D点作DE⊥OC，垂足为E，
在Rt△CDE中，DE=2，CE=2，
∴CD=2

2

；

（2）∵PC=x，DE=2，
∴S_△PDC=

1

2

•x•2=x，…
∴S梯形AOCD=

(1+3)

2

×2=4
∴y=S_梯形AOCD-S_△PDC=4-x（0＜x＜3）；

（3）当圆P与圆D外切时，如图所示：

过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2

2

，DE=2，
根据勾股定理得：EC=

DC2-DE2

═2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圆D与圆P外切，圆D半径为

1

2

，圆P半径为x，
∴DP=

1

2

+x，
在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（

1

2

+x）²=2²+（2-x）²，
解得：x=

31

20

；
即x=

31

20

时⊙D与⊙P外切．
此时S_{四边形ABPD}=-

31

20

+4=

49

20

，
当圆P与圆D内切时，如图所示：

过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2

2

，DE=2，
根据勾股定理得：EC=2，
∵圆D与圆P外切，圆D半径为

1

2

，圆P半径为x，
∴DP=x-

1

2

，
在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（-

1

2

+x）²=2²+（2-x）²，
解得：x=

31

12

，
综上，当x=

31

20

或

31

12

时，圆D与圆P相切．
即x=

31

12

时⊙D与⊙P内切．
此时S_{四边形ABPD}=-

31

12

+4=

17

12

．

点评：本题主要考查了直角梯形的性质，函数自变量的取值范围，相切两圆的性质，梯形的面积及勾股定理的运用以及分类讨论的数学思想运用，题目具有综合性，难度不小．