Question

下列命题：
①若方程ax²+bx+c=0有一根为-

b

2a

，则方程必有两相等的实数根；
②若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b=2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有一根为0，则c=0
其中正确的是（　　）

• A、只有①②③
• B、只有①③④
• C、只有①②④
• D、只有②③④

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的解

专题：

分析：通过计算判别式的值对①③进行判断；
利用特例对②进行判断；
根据方程解的定义对④进行判断．

解答：解：①若方程ax²+bx+c=0有一根为-

b

2a

，则a×（-

b

2a

）²+b×（-

b

2a

）+c=0，即

b2-2b2+4ac

4a

=0，所以4ac-b²=0，那么△=b²-4ac=0，方程必有两相等的实数根，所以①正确；
②若b＞a+c，设a=-4，b=10，c=-9，则△＜0，一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，所以②错误；
③若b=2a+3c，则△=b²-4ac=4（a+c）²+5c²＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以③正确；
④若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有一根为0，则a×0²+b×0+c=0，即c=0，所以④正确．
故选B．

点评：本题考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．