Question

【题目】感知：如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点(点D不与点B，C重合)．连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连接BE，过点D作DF∥AC交AB于点F，可知△ADF≌△EDB，则∠ABE的大小为________．

探究：如图②，在△ABC中，∠C＝α(0°＜α＜90°)，AC＝BC，D是边BC上一点(点D不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转α，得到DE，连接BE，求证：∠ABE＝α.

应用：设图②中的α＝60°，AC＝2.当△ABE是直角三角形时，AE＝________．

Answer 1

【答案】感知：∠ABE＝90°；探究：证明见解析；应用：AE＝.

【解析】

感知：根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，由平行线的性质可得∠FDB＝∠C＝90°，即可得∠AFD＝∠FDB＋∠FBD＝135°；已知△ADF≌△EDB，根据全等三角形的性质可得∠DBE＝∠AFD＝135°，即可求得∠ABE＝90°；探究：过点D作DF∥AC交AB于点F（如图），则∠DFB＝∠CAB，∠FDB＝∠C＝α，已知CA＝CB，根据等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA，由等量代换可得∠DFB＝∠DBF；根据等腰三角形的判定可得DF＝DB，再由旋转的性质可知∠ADF＝∠EDB，即可证明△ADF≌△EDB，由全等三角形的性质可得∠DBE＝∠AFD, 即可得∠ABE＝∠FDB＝∠C＝α；应用：已知α＝60°，CA＝CB，根据等边三角形的判定方法可得△ABC是等边三角形，即可得BA＝AC＝2，又因∠ABE＝∠C＝60°，∠AEB＝90°，即可求得AE＝ .

感知：

∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵DF∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝90°，

∴∠AFD＝∠FDB＋∠FBD＝135°，

∵△ADF≌△EDB，

∴∠DBE＝∠AFD＝135°，

∴∠ABE＝135°－45°＝90°.

故答案为：90°.

探究：证明：如图，

过点D作DF∥AC交AB于点F，则∠DFB＝∠CAB，∠FDB＝∠C＝α，

∵CA＝CB，

∴∠CAB＝∠CBA，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴DF＝DB，

由旋转变换的性质可知，∠ADF＝∠EDB，

在△ADF和△EDB中，

∴△ADF≌△EDB，

∴∠DBE＝∠AFD,

∵∠DBE＝∠ABE+∠ABC，∠AFD＝∠ABC+∠FDB，

∴∠ABE＝∠FDB，

∴∠ABE＝∠C＝α.

应用：∵α＝60°，CA＝CB，

∴△ABC是等边三角形，

∴BA＝AC＝2，

∵∠ABE＝∠C＝60°，∠AEB＝90°，

∴AE＝.