Question

【题目】如图，点D为的AB边上的中点，点前E为AD的中点，为正三角形，给出下列结论，①,②，③，④若，点是上一动点，点到、边的距离分别为，，则的最小值是3.其中正确的结论是_________（填写正确结论的番号）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由题意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根据含有30°的直角三角形的性质可判断①②③，易证四边形PMCN是矩形，可得d12＋d22＝MN2＝CP 2，根据垂线段最短，可得CP的值即可求d12＋d22的最小值，即可判断④．

∵D是AB中点，

∴AD＝BD

∵△ACD是等边三角形，E是AD中点，

∴AD＝CD，∠ADC＝60°＝∠ACD，CE⊥AB，∠DCE＝30°，

∴CD＝BD，

∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB，

∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝，

故①③正确，②错误；

∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°.

∴∠ACB＝90°.

若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，

∴四边形PMCN是矩形，

∴MN＝CP，

∵d12＋d22＝MN2＝CP2，

∴当CP为最小值，d12＋d22的值最小，

∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12＋d22的值最小，

此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB，

∴CP＝，

∴d12＋d22＝MN2＝CP2＝3，

即d12＋d22的最小值为3，

故④正确；

故答案为：①③④