Question

12．如图，矩形ABCD中，AD=6厘米，AB=y厘米（y＞6）．动点M、N同时从B点出发，分别向A、C运动，速度都是2厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若y=8，t=1，求PM的长；
（2）若y=10，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，△ABN与△PAD的面积相等，求此时y与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）容易知道△ANB∽△APM，利用相似三角形的对应边成比例就可以求出PM；
（2）若PNB∽△PAD，则 $\frac{NB}{AD}$=$\frac{PN}{PA}$，而 $\frac{PN}{PA}$=$\frac{BM}{AM}$，推出 $\frac{NB}{AD}$=$\frac{BM}{AM}$，由BN=BM，推出AD=AM=4，求出BM即可求出t，也可以求出相似比；
（3）由S_△PAD=S_△ABN，得到$\frac{1}{2}$×6×（y-2t）=$\frac{1}{2}$×y×2t，由此即可解决问题．

解答 解：（1）当t=1时，MB=1，NB=1，AM=8-1=7，
∵PM∥BN
∴△ANB∽△APM，
∴$\frac{PM}{NB}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{PM}{1}$=$\frac{7}{8}$
∴PM=$\frac{7}{8}$．

（2）∵△PNB∽△PAD，
∴$\frac{NB}{AD}$=$\frac{PN}{PA}$，∵$\frac{PN}{PA}$=$\frac{BM}{AM}$，
∴$\frac{NB}{AD}$=$\frac{BM}{AM}$，
∵BM=BN，
∴AM=AD=6，
∵AB=10，
∴BM=4，
∴t=2．
∴$\frac{NB}{AD}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
∴相似比为$\frac{2}{3}$．

（3）∵S_△PAD=S_△ABN，
∴$\frac{1}{2}$×6×（y-2t）=$\frac{1}{2}$×y×2t，
∴y=$\frac{6t}{3-t}$，（0＜t＜3）．

点评 本题主要考查对勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，矩形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．