Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论：①abc＞0，②a-b+c=0，③2a+b＜0，④b²-4ac＜0，其中正确的是（　　）

• A、①②③④
• B、①③④
• C、①③
• D、①②

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：根据二次函数图象开口向上，判断a大于0，与y轴交于负半轴，判断c小于0，对称轴为直线x=1，判断b＜0，据此对①作出判断；根据对称轴为直线x=1，即可对③作出判断；根据二次函数对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），进而得到二次函数图象与x轴另一个交点为（-1，0），坐标代入解析式，即可对②作出判断；根据二次函数图象与x轴有两个交点，即可对④作出判断．

解答： 解：∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴-

b

2a

=1，
∴b＜0，2a+b=0，
∴abc＞0，
∴①正确，③错误，
∵二次函数图象经过（3，0），对称轴为x=1，
∴二次函数图象与x轴另一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0，②正确；
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，④错误，
综上①②正确，
故选D．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系的知识：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当 a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．