Question

6．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R．则：（1）DE=$\sqrt{2}$-1；（2）PQ+PR=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和勾股定理得出BD=$\sqrt{2}$，进而解答即可；
（2）连接BP，过C作CM⊥BD，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半．

解答 解：（1）∵边长为1的正方形ABCD，
∴DB=$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{2}$-1；
（2）连接BP，过C作CM⊥BD，如图所示：

∵BC=BE，
∴S_△BCE=S_△BPE+S_△BPC
=$\frac{1}{2}$BC×PQ+$\frac{1}{2}$BE×PR=$\frac{1}{2}$BC×（PQ+PR）=$\frac{1}{2}$BE×CM，
∴PQ+PR=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CD=BC=1，∠CBD=∠CDB=45°，
∴BD=$\sqrt{2}$，
∵BC=CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即PQ+PR值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$-1；$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键．