Question

10．已知：如图AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0（其中m为实数）的两根．
（1）求证：△PBC∽△BAC；
（2）求证：PF平分∠APB；
（3）若GE•EF=6$\sqrt{3}$，求∠PBC的度数．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理以及弦切角定理得出对应角相等进而得出即可；
（2）根据BE、BD恰好是关于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0（其中m为实数）的两根来判断，是它的两根，可见此方程有根，所以求出△，必须≥0．利用这求出m的值．从而求出这个方程的一般式，然后解方程求出根，即是BE、BD的长度进而利用圆周角定理得出答案；
（3）要求∠PBC的度数，只要求出∠A的度数，再利用直角三角形的角边关系，求出在Rt△ACB中sinA的值，要求sinA的值，就要求BC，AB的值．这就要利用题中给出的条件利用相似三角形来求．

解答 （1）证明：∵PB切⊙O于点B，
∴∠A=∠PBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCP=90°，
∴△PBC∽△BAC；

（2）证明：∵BE、BD是关于x的方程x²-6x+（m²+4m+13）=0的两根，
∴△=（-6）²-4（m²+4m+13）=-4（m+2）²≥0，∴m=-2，
原方程为x²-6x+9=0，
解得x₁=x₂=3，
∴BE=BD=3，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，∠CDP+∠4=90°，
∠2=∠CDP，
∴∠3=∠4，
∴PF平分∠APB；

（3）解：由相交弦定理得AE•BE=GE•FE=6$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∵∠3=∠4，∠5=∠A，
∴△PBD∽△PAE，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{PD}{PE}$，
可得：△PDC∽△PEB
∴$\frac{DC}{EB}$=$\frac{PD}{PE}$，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{DC}{EB}$，
∴DC=$\frac{BD•EB}{AE}$=$\frac{3×3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ACB中，sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3+\frac{3\sqrt{3}}{2}}{3+2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A=∠PBC=60°．

点评 本题考查了学生圆的有关知识以及一元二次方程根的判别式的性质和弦切角定理等知识，得出△PBD∽△PAE求出DC的长是解题关键．