Question

19．如图，G是△ABC的重心，连接AG并延长交BC于D，已知AG=2$\sqrt{3}$+2，∠BAD=45°，∠B=75°，则BC=12．

Answer 1

分析 首先根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，求出AD的长是多少；然后根据正弦定理，求出BD的长度是多少；最后用BD的长度乘以2，求出BC的长度是多少即可．

解答 解：∵G是△ABC的重心，AG=2$\sqrt{3}$+2，
∴AD=（2$\sqrt{3}$+2）×$\frac{3}{2}$=3$\sqrt{3}+3$，
由正弦定理，可得$\frac{BD}{sin45°}=\frac{AD}{sin75°}$，
∴$\frac{BD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$，
解得BD=6，
∵G是△ABC的重心，
∴BC=2BD=2×6=12．
故答案为：12．

点评 （1）此题主要考查了三角形的重心的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．
（2）此题还考查了正弦定理的应用，要熟练掌握．