Question

4．如图，抛物线y=-x²+ax+4与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=$\frac{1}{4}$，点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）是抛物线y=-x²+ax+4上两点，当x₁≤x≤x₂，y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$．则下列结论正确的是（　　）

• A． a=-3
• B． y₂＜4
• C． |x₁-x₂|=1
• D． |x₁-$\frac{3}{2}$|＞|x₂-$\frac{3}{2}$|

Answer 1

分析 由题意易知a=3，点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）是抛物线y=-x²+ax+4上两点，可以看作y=-x²+ax+4与y=$\frac{12}{x}$的交点，求出C、D两点坐标即可一一判断．

解答 解：连接AB．在Rt△ABO中，∵tan∠ABO=$\frac{1}{4}$，OB=4，
∴AO=1，把A（-1，0）代入y=-x²+ax+4，得到a=3，故A错误．
∴二次函数的解析式为y=-x²+3x+4，
由题意点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）是抛物线y=-x²+ax+4上两点，可以看作y=-x²+ax+4与y=$\frac{12}{x}$的交点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+3x+4}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到x³-3x²-4x+12=0，
∴x²（x-3）-4（x-3）=0，
∴（x-3）（x+2）（x-2）=0，
∴x=3或-2或2，
∴C（2，6），D（3，4），
由图象可知y₂≥4，故B错误，
∵x₁=2，x₂=3，
∴|x₁-x₂|=1，|x₁-$\frac{3}{2}$|＜|x₂-$\frac{3}{2}$|，
故C正确，D错误，
故选C．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上的点的特征、解直角三角形、解方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，求出C、D两点坐标是解决问题的突破点，属于中考选择题中的压轴题．