【题目】如图所示,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.
(1)求证:四边形EFDG是菱形;
(2)求证:EG2=GF×AF;
(3)若,折痕AF=5cm,则矩形ABCD的周长为 .
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)36cm.
【解析】试题分析:(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG,从而得到GD=DF,接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF。
(2)连接DE,交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下来,证明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF,于是可得到GE、AF、FG的数量关系.
(3)过点G作GH⊥DC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长,然后再证明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长,最后依据BE=AD-GH求解即可.
试题解析:
(1)证明:如图所示,
∵EG∥CD, ∴∠EGF=∠DFG.
∵由折叠的性质可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG. ∴GD=DF.
∴GD=GE=DF=EF,∴四边形EFDG为菱形;
(2)证明:如图所示,连接DE,交AF于点O.
∵四边形EFDG为菱形, ∴GF⊥DE,OG=OF=GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA, ∴△DOF∽△ADF.
∴,即DF2=OFAF.
∵OF=GF,DF=EG, ∴EG2=GFAF ;
(3)矩形ABCD的周长为36 cm.
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【题目】关于反比例函数y=﹣ ,下列说法正确的是( )
A.图像在第一、三象限
B.图像经过(2,1)
C.在每个象限中,y随x的增大而减小
D.当x>1时,﹣2<y<0
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【题目】如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.
(1)作∠ABC的平分线BD,交AC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)条件下,比较线段DA与BC的大小关系(不要求证明).
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【题目】如图所示.
(1)已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数;
(2)∠AOB=α,∠BOC=β,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的大小.
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【题目】如图,已知∠1=∠2,要得到△ABD≌△ACD,还需从下列条件中补选一个,则错误的选法是( )
A.AB=AC
B.DB=DC
C.∠ADB=∠ADC
D.∠B=∠C
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【题目】(12分)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB上.
(1)若DE=BF,求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)若四边形AFCE是菱形,求菱形AFCE的周长.
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