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【题目】如图所示,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.

(1)求证:四边形EFDG是菱形;

(2)求证:EG2=GF×AF;

(3)若,折痕AF=5cm,则矩形ABCD的周长为 .

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)36cm.

【解析】试题分析:1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=DFG,从而得到GD=DF,接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF

2)连接DE,交AF于点O.由菱形的性质可知GFDEOG=OF=GF,接下来,证明DOF∽△ADF,由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF,于是可得到GEAFFG的数量关系.

3)过点GGHDC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4,然后再ADF中依据勾股定理可求得AD的长,然后再证明FGH∽△FAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长,最后依据BE=AD-GH求解即可.

试题解析:

1)证明:如图所示,

EGCD∴∠EGF=DFG

∵由折叠的性质可知:GD=GEDF=EFDGF=EGF

∴∠DGF=DFGGD=DF

GD=GE=DF=EF∴四边形EFDG为菱形;

2)证明:如图所示,连接DE,交AF于点O

∵四边形EFDG为菱形, GFDEOG=OF=GF

∵∠DOF=ADF=90°OFD=DFA∴△DOF∽△ADF

,即DF2=OFAF

OF=GFDF=EG EG2=GFAF

3矩形ABCD的周长为36 cm.

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