Question

8．已知二次函数y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c，且不等式-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c＜0的解集是-5＜x＜1，试求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析 设二次函数y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c=-$\frac{1}{2}$（x-e）（x-f），根据二次函数与一元二次不等式的关系得到y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c=-$\frac{1}{2}$（x+5）（x-1）=-$\frac{1}{2}$x²-2x+$\frac{5}{2}$，即可得到这个二次函数的解析式．

解答 解：设二次函数y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c=-$\frac{1}{2}$（x-e）（x-f），
∵不等式-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c＜0的解集是-5＜x＜1，
∴y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c=-$\frac{1}{2}$（x+5）（x-1）=-$\frac{1}{2}$x²-2x+$\frac{5}{2}$，
∴这个二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数与不等式的关系，待定系数法求二次函数解析式等知识点的理解和掌握，理解二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系是解此题的关键，题型较好，难度适中．