Question

【题目】如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD、MN．
（1）求证：△PMN为等腰直角三角形；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP，BD分别交于点G、H，请判断①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．

在△ACE和△BCD中， ，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，

∵∠CBD+∠BDC=90°，

∴∠EAC+∠BDC=90°，

∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，

∴PM= BD，PN= AE，

∴PM=PM，

∵PM∥BD，PN∥AE，

∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，

∵∠EAC+∠BDC=90°，

∴∠MPA+∠NPC=90°，

∴∠MPN=90°，

即PM⊥PN，

∴△PMN为等腰直角三角形

（2）解：①中的结论成立，

理由：设AE与BC交于点O，如图②所示：

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．

在△ACE和△BCD中， ，

∴△ACE≌△BCD（SAS）

∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．

∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，

∴∠BHO=∠ACO=90°，

∴AE⊥BD，

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

∴PM= BD，PM∥BD，PN= AE，PN∥AE，

∴PM=PN．

∵AE⊥BD，

∴PM⊥PN，

∴△PMN为等腰直角三角形．

【解析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN，于是得到结论；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)，还要掌握旋转的性质(①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了)的相关知识才是答题的关键．