Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（0，1），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（m，2）．

（1）求k和b的值；

（2）在双曲线y＝（x＞0）上是否存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝2，b＝1；（2）C（2，1）．

【解析】

（1）将点A坐标代入直线y=x+b中求出b，进而求出点B坐标，最后代入反比例函数解析式中，求出k；
（2）先求出AB的长，再分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点C的坐标，判断即可得出结论．

（1）将A（0，1）代入y＝x+b中得，0+b＝1

∴b＝1

将B（m，2）代入y＝x+1中得，m+1＝2

∴m＝1

∴B（1，2）

将B（1，2）代入y＝中得，k＝1×2＝2

∴k＝2，b＝1；

（2）∵A（0，1），B（1，2），

∴AB＝，

由（1）知，b＝1，

∴直线AB的解析式为y＝x+1，

分情况讨论：

△ABC是等腰直角三角形

①当∠CAB＝90°时，AC＝AB，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1，

设C（c，﹣c+1），

∴AC＝，

∴c＝±1，

∴C为（﹣1，2）或（1，0），

将点C代入中判断出都不在双曲线上，．

②当∠ABC＝90°时，同①的方法得，C为（2，1）或（0，3），

将点C坐标代入中得，判断出点C（2，1）在双曲线上，

③当∠ACB＝90°时，

∵A（0，1），B（1，2），

易知，C为（1，1）或（0，2），

将点C坐标代入中判断出都不在双曲线上，

∴C（2，1）．