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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是上的一个动点,过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.

(1)当点P在什么位置时,DP是⊙O的切线?请说明理由;

(2)当DP为⊙O的切线时,求线段DP的长.

【答案】(1)当点P 是的中点时,DP是⊙O的切线2

【解析】试题分析:(1)根据题意猜想当点P的中点时,DP⊙O的切线,因为DP∥BC,所以只需要证明PA⊥BC,可得DP⊥PA,而在△ABC中利用三线合一可证PA⊥BC;(2)连接OB,设PABC于点E.在RtΔABERtΔOBE中,由勾股定理,可求AE⊙O的半径的长,然后证明ΔABE∽ΔADP,利用相似三角形的性质可得DP=

试题解析:解:(1)当点P的中点时,DP⊙O的切线. (1分)

理由如下:

连接AP∵AB=AC=

==

∴PA⊙O的直径. (2分)

=∴∠1=∠2

∵AB=AC∴PA⊥BC. (3分)

∵DP∥BC∴DP⊥PA

∴DP⊙O的切线. (4分)

2)连接OB,设PABC于点E

由垂径定理,得BE=EC=6. (5分)

RtΔABE中,由勾股定理,

AE===8. (6分)

⊙O的半径为r,则OE=8-r

RtΔOBE中,由勾股定理,

,解得r=. (8分)

∵DP∥BC∴∠ABE=∠D

∵∠1=∠1∴ΔABE∽ΔADP

,即,解得DP=. (10分)

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