【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是上的一个动点,过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.
(1)当点P在什么位置时,DP是⊙O的切线?请说明理由;
(2)当DP为⊙O的切线时,求线段DP的长.
【答案】(1)当点P 是的中点时,DP是⊙O的切线(2)
【解析】试题分析:(1)根据题意猜想当点P是的中点时,DP是⊙O的切线,因为DP∥BC,所以只需要证明PA⊥BC,可得DP⊥PA,而在△ABC中利用三线合一可证PA⊥BC;(2)连接OB,设PA交BC于点E.在RtΔABE和RtΔOBE中,由勾股定理,可求AE和⊙O的半径的长,然后证明ΔABE∽ΔADP,利用相似三角形的性质可得DP=.
试题解析:解:(1)当点P是的中点时,DP是⊙O的切线. (1分)
理由如下:
连接AP,∵AB=AC,∴=.
又∵=,∴=.
∴PA是⊙O的直径. (2分)
∵=,∴∠1=∠2.
又∵AB=AC,∴PA⊥BC. (3分)
又∵DP∥BC,∴DP⊥PA.
∴DP是⊙O的切线. (4分)
(2)连接OB,设PA交BC于点E.
由垂径定理,得BE=EC=6. (5分)
在RtΔABE中,由勾股定理,
得AE===8. (6分)
设⊙O的半径为r,则OE=8-r,
在RtΔOBE中,由勾股定理,
得,解得r=. (8分)
∵DP∥BC,∴∠ABE=∠D.
又∵∠1=∠1,∴ΔABE∽ΔADP,
∴,即,解得DP=. (10分)
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【题目】如图,已知点A、B以及直线l,AE⊥l,垂足为点E.
(1)尺规作图:①过点B作BF⊥l,垂足为点F
②在直线l上求作一点C,使CA=CB;(要求:在图中标明相应字母,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在所作的图中,连接CA、CB,若∠ACB=90°,∠CAE=,则∠CBF= (用含的代数式表示)
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【题目】如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,AD与CE相交于点P,∠BAC=66°,∠BCE=40°,求∠ADC和∠APC的度数.
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【题目】如图,在面积为3的△ABC中,AB=3,∠BAC=45°,点D是BC边上一点.
(1)若AD是BC边上的中线,求AD的长;
(2)点D关于直线AB和AC的对称点分别为点M、N,求AN的长度的最小值;
(3)若P是△ABC内的一点,求的最小值.
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【题目】在2016年泉州市初中体育中考中,随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为:158,160,154,158,170,则由这组数据得到的结论错误的是( )
A. 平均数为160 B. 中位数为158 C. 众数为158 D. 方差为20.3
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【题目】已知锐角三角形ABC内接于⊙O,AD⊥BC,垂足为D.
(1)如图1, ,BD=DC,求∠B的度数;
(2)如图2,BE⊥AC,垂足为E,BE交AD于点F,过点B作BG∥AD交⊙O于点G,在AB边上取一点H,使得AH=BG.求证:△AFH是等腰三角形.
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【题目】下列结论中,错误结论有( );①三角形三条高(或高的延长线)的交点不在三角形的内部,就在三角形的外部;②一个多边形的边数每增加一条,这个多边形的内角和就增加360;③两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角的角平分线互相平行;④三角形的一个外角等于任意两个内角的和;⑤在中,若,则为直角三角形;⑥顺次延长三角形的三边,所得的三角形三个外角中锐角最多有一个
A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个
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【题目】如图,过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B.
(1)求一次函数的解析式;
(2)判断点C(4,-2)是否在该一次函数的图象上,说明理由;
(3)若该一次函数的图象与x轴交于D点,求△BOD的面积.
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