Question

【题目】如图，在钝角三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点，取的中点，的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④.其中正确结论有（ ）

A. 个B. 个C. 个D. 个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN＝AB；然后判断出EM＝AB，即可判断出EM＝DN；

②首先根据DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根据DN＝AB，可得S△CDN＝S△ABC，所以S△CDN＝S四边形ABDN，据此判断即可．

③首先连接MD、FN，判断出DM＝FN，∠EMD＝∠DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD≌△DNF，即可判断出DE＝DF．

④首先判断出＝sin45°＝，DM＝FA，∠EMD＝∠EAF，根据相似三角形判定的方法，判断出△EMD∽△∠EAF，即可判断出∠MED＝∠AEF，然后根据∠MED＋∠AED＝45°，判断出∠DEF＝45°，再根据DE＝DF，判断出∠DFE＝45°，∠EDF＝90°，即可判断出DE⊥DF．

解：∵D是BC中点，N是AC中点，

∴DN是△ABC的中位线，

∴DN∥AB，且DN＝AB；

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M，

∴M是AB的中点，

∴EM＝AB，

又∵DN＝AB，

∴EM＝DN，

∴结论①正确；

∵DN∥AB，

∴△CDN∽ABC，

∵DN＝AB，

∴S△CDN＝S△ABC，

∴S△CDN＝S四边形ABDN，

∴结论②正确；

如图1，连接MD、FN，

∵D是BC中点，M是AB中点，

∴DM是△ABC的中位线，

∴DM∥AC，且DM＝AC；

∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，

∴FN＝AC，

又∵DM＝AC，

∴DM＝FN，

∵DM∥AC，DN∥AB，

∴四边形AMDN是平行四边形，

∴∠AMD＝∠AND，

又∵∠EMA＝∠FNA＝90°，

∴∠EMD＝∠DNF，

在△EMD和△DNF中，

EM＝DN，∠EMD＝∠DNF，MD＝NF，

∴△EMD≌△DNF，

∴DE＝DF，

∴结论③正确；

如图2，连接MD，EF，NF，

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，

∴M是AB的中点，EM⊥AB，

∴EM＝MA，∠EMA＝90°，∠AEM＝∠EAM＝45°，

∴＝sin45°＝，

∵D是BC中点，M是AB中点，

∴DM是△ABC的中位线，

∴DM∥AC，且DM＝AC；

∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，

∴FN＝AC，∠FNA＝90°，∠FAN＝∠AFN＝45°，

又∵DM＝AC，

∴DM＝FN＝FA，

∵∠EMD＝∠EMA＋∠AMD＝90°＋∠AMD，

∠EAF＝360°∠EAM∠FAN∠BAC

＝360°45°45°（180°∠AMD）

＝90°＋∠AMD

∴∠EMD＝∠EAF，

在△EMD和△∠EAF中，，∠EMD＝∠EAF，

∴△EMD∽△∠EAF，

∴∠MED＝∠AEF，

∵∠MED＋∠AED＝45°，

∴∠AED＋∠AEF＝45°，

即∠DEF＝45°，

又∵DE＝DF，

∴∠DFE＝45°，

∴∠EDF＝180°45°45°＝90°，

∴DE⊥DF，

∴结论④正确．

∴正确的结论有4个：①②③④．

故选：D．