Question

【题目】（操作发现）

如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；

（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=____．

（问题解决）

（3）如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；

想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…

请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）

Answer 1

【答案】（1）如图，△AB′C′即为所求；见解析；（2）45°；（3）S△APC=.

【解析】

（1）如图所示，△AB′C′即为所求；

（2）利用等腰三角形的性质即可解决问题；

【问题解决】

结论:PA2+PB2=PC2．

证法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；

证法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．

（1）如图，△AB′C′即为所求；

（2）∵△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B=45°．
故答案为45°；

（3）如图②，

∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°，

∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，

∴PP′= PC，即AP= PC

∵∠APC=90°，∴AP2+PC2=AC2 ， 即（PC）2+PC2=72 ， ∴PC=，

∴AP=，∴S△APC=APPC=