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【题目】如图①,在等腰直角三角形中,DE分别在上,且,此时有

(1)如图①中 绕点A旋转至如图②时上述结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

(2)将图①中的绕点A旋转至DE与直线AC垂直,直线BDCE于点F,若,请画出图形,并求出BF的长.

【答案】(1)仍然成立;(2)画图见解析;长为.

【解析】

1)结论:BDCEBDCE.如图1中,延长BDCE的延长线于H.证明△BAD≌△CAESAS),即可解决问题;(2)分两种中情况分别求解当逆时针旋转角度是45°时,当逆时针旋转角度是225°时,先证明△ABD≌△ACESAS),从而求解DEEC 的边长,再通过角的代换证明BFEC,再证明RtDEFRtCEG,通过对应边成比例,求出FC的长度,最后再直角三角形△BCF用勾股定理求得BF的长度.

解:(1) 仍然成立

延长交于点

都是等腰直角三角形,

(2)如图,长为

DE与直线AC垂直,

当逆时针旋转角度是45°时,如图2

在△ABD和△ACE中,

AEAD,∠BAD=∠CAE45°,ABAC

∴△ABD≌△ACESAS

BDEC

AB20AD5

AC20AE5

∵∠DAE90°,

DE10

∵△AED是等腰直角三角形,

AGGE5

GC15

在直角三角形GEC中,EC5

又∵∠ABD=∠ACE,∠BCA45°,∠ABC45°,

∴∠DBC+BCA+ACE90°,

BFEC

∵∠EFD=∠EGC90°,∠EDF=∠ECG

RtDEFRtCEG

EF

FC4

RtABC中,BC20

RtBCF中,BF

当逆时针旋转角度是225°时,如图3

在△ABD和△ACE中,

AEADBAD=∠CAE45°,ABAC

∴△ABD≌△ACESAS

BDEC

AB20AD5

AC20AE5

∵∠DAE90°,

DE10

∵△AED是等腰直角三角形,

AGGE5

GC25

在直角三角形GEC中,EC5

又∵∠ABD=∠ACE,∠ABC45°,∠ACB45°,

∴∠DBA+ABC+ACE90°,

BFEC

∵∠EFD=∠EGC90°,∠EDF=∠ECG

RtDEFRtCEG

EF

FC

RtABC中,BC20

RtBCF中,BF

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类别

 频数(人数)

 频率

 小说

a

0.5

戏剧

4

散文

10

0.25

 其他

6

 合计

b

1

根据图表提供的信息,回答下列问题:

1)直接写出:a   b   m   

2)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团,请求选取的2人恰好是甲和乙的概率.

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【题目】如图,在矩形ABCD中,EAB的中点,连接DE、CE.

(1)求证:ADE≌△BCE;

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【题目】如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰RtABC和等腰RtADECDBEAE分别交于点PM.对于下列结论:①△BAE∽△CADMPMDMAME2CB2CPCM.其中正确的是(   )

A. ①②③ B. C. ①② D. ②③

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【题目】(操作发现)

如图①,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上.

1)请按要求画图:将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B′,点C的对应点为C′,连接BB′

2)在(1)所画图形中,∠AB′B=____

(问题解决)

3)如图②,在等边三角形ABC中,AC=7,点PABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求APC的面积.

小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:

想法一:将APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到AP′B,连接PP′,寻找PAPBPC三条线段之间的数量关系;

想法二:将APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到AP′C′,连接PP′,寻找PAPBPC三条线段之间的数量关系.

请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可)

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【题目】如图,矩形ABCD中,EDC的中点,ADAB2CPBP12,连接EP并延长,交AB的延长线于点FAPBE相交于点O.下列结论:①EP平分∠CEB;②PBEF;③PFEF2;④EFEP4AOPO.其中正确的是(  )

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ③④

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1)求证:四边形EMFN是平行四边形.

2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,他猜想:当ABAD时,四边形EMFN是矩形.请在下列框图中补全他的证明思路.

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