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【题目】如图,在□ABCD中,EF分别是ADBC的中点,∠AEF的角平分线交AB于点M,∠EFC的角平分线交CD于点N,连接MFNE

1)求证:四边形EMFN是平行四边形.

2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,他猜想:当ABAD时,四边形EMFN是矩形.请在下列框图中补全他的证明思路.

【答案】1)见解析;(2)∠EFM=∠BMFAMBM(或:MAB中点).

【解析】

1)根据平行四边形的性质可得∠A=C,∠AEF=∠CFEAD=BC,根据角平分线的定义和中点的定义可得∠AEM=∠CFNAECF,利用ASA即可证明AMECNF,可得EMFN,∠FEM=∠FEN,根据内错角相等可得EM//FN,即可证明四边形EMFN是平行四边形;(2)由AE=BFAE//BF可得四边形ABFE是平行四边形,可得EF//AB,可得∠MEF=AME,∠EFM=BMF,由角平分线可得∠AEM=MEF,即可证明∠AEM=AME,可得AE=AM,由AB=AD可得MAB中点,即可证明BM=BF,进而可得∠BMF=BFM,即可证明∠BFM=EFM,可得∠EFM+EFN=90°,可得四边形EMFN是矩形.

(1)□ABCD中,∠A=∠CADBCADBC

EF分别是ADBC的中点,

AEADCFBC

又∵ADBC

AECF

ADBC

∴∠AEF=∠CFE

EM平分∠AEFFN平分∠EFC

∴∠AEM=∠FEMAEF,∠CFN=∠FENCFE

∵∠AEF=∠CFE,∠AEMAEF,∠CFNCFE

∴∠AEM=∠CFN

AMECNF

AMECNFASA),

∵∠FEM=∠FEN

EMFN

AMECNF

EMFN

EMFNEMFN

∴四边形EMFN是平行四边形.

2)∵AE=BFAE//BF

∴四边形ABFE是平行四边形,

AB//EF

∴∠MEF=AME,∠EFM=BMF

∵∠AEM=MEF

∴∠AEM=AME

AE=AM

EAD中点,AB=AD

MAB中点,即AM=BM

AE=BF

BM=BF

∴∠BMF=BFM

∴∠BFM=EFM

∵∠EFN=CFN

∴∠EFM+EFN=90°,即∠MFN=90°

∴四边形EMFN是矩形.

故答案为:∠EFM=∠BMFAMBM(或:MAB中点).

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