【题目】在△ABC中,sin A=sin B=,AB=12,M为AC的中点,BM的垂直平分线交AB于点N,交BM于点P,那么BN的长为_____.
【答案】
【解析】
PN垂直平分BM,作CD⊥AB于D,MH⊥AB于H,如图,由sin∠A=sin∠B得到∠A=∠B,则根据等腰三角形的性质得AD=BD=AB=6,在Rt△ACD中,根据正弦的定义得sin A=
=
,可设CD=4t,AC=5t,根据勾股定理得AD=3t,则3t=6,解得t=2,所以AC=10,AM=5,再在Rt△AMH中,利用sin A=
=
得到MH=4,于是有AH=3,HB=AB-AH=9,由于PN垂直平分BM,根据线段的垂直平分线的性质得NM=NB,设NB=x,则NM=x,HN=9-x,在Rt△MHN中,根据勾股定理有x2=42+(9-x)2,解得x=
.
如图,过点C作CD⊥AB于点D,过点M作MH⊥AB于点H,
∵sin A=sin B,
∴∠A=∠B,
∴AD=BD=AB=
×12=6,
在Rt△ACD中,sin A==
,
∴AC=10,
∵M点为AC的中点,
∴AM=5,
在Rt△AMH中,sin A==
,
∴MH=4,
∴AH=3,HB=AB-AH=9,
∵PN垂直平分BM,
∴NM=NB,
设NB=x,则NM=x,HN=9-x,
在Rt△MHN中,NM2=MH2+HN2,
∴x2=42+(9-x)2,解得x=,即NB的长为
.
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【题目】九(1)班开展了“读一本好书”的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别,每位同学仅选一项.根据调査结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.
类别 | 频数(人数) | 频率 |
小说 | a | 0.5 |
戏剧 | 4 | |
散文 | 10 | 0.25 |
其他 | 6 | |
合计 | b | 1 |
根据图表提供的信息,回答下列问题:
(1)直接写出:a= .b= m= ;
(2)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团,请求选取的2人恰好是甲和乙的概率.
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【题目】如图,矩形ABCD中,E为DC的中点,AD:AB=:2,CP:BP=1:2,连接EP并延长,交AB的延长线于点F,AP、BE相交于点O.下列结论:①EP平分∠CEB;②
=PBEF;③PFEF=2
;④EFEP=4AOPO.其中正确的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ③④
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【题目】如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣1,1),C(﹣3,2).
(1)将△ABC向右平移4个单位,请画出平移后的△A1B1C1;
(2)以原点O为位似中心,将△A1B1C1放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在网格内画出△A2B2C2;
(3)请在x轴上找出点P,使得点P到B与点A1距离之和最小,请直接写出P点的坐标 .
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【题目】如图,对称轴为直线x=1的抛物线经过A(﹣1,0)、C(0,3)两点,与x轴的另一个交点为B,点D在y轴上,且OB=3OD
(1)求该抛物线的表达式;
(2)设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t
①当0<t<3时,求四边形CDBP的面积S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
②点Q在直线BC上,若以CD为边,点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有符合条件的点P的坐标.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AB边上的动点,过点D作DE⊥AB交边AC于点E,过点E作EF⊥DE交BC于点F,连接DF.
(1)当AD=4时,求EF的长度;
(2)求△DEF的面积的最大值;
(3)设O为DF的中点,随着点D的运动,则点O的运动路径的长度为______.
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【题目】如图,在□ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,∠AEF的角平分线交AB于点M,∠EFC的角平分线交CD于点N,连接MF、NE.
(1)求证:四边形EMFN是平行四边形.
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,他猜想:当AB=AD时,四边形EMFN是矩形.请在下列框图中补全他的证明思路.
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE,AF的长.
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【题目】已知△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.
(1)如图①,AB是直径,要使EF是⊙O的切线,还须添加一个条件是(只需写出三种情况).
(ī) (īī) (īīī)
(2)如图(2),若AB为非直径的弦,∠CAE=∠B,则EF是⊙O的切线吗?为什么?
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