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【题目】如图,在RtABC中,∠C90°AC8BC6DAB边上的动点,过点DDEAB交边AC于点E,过点EEFDEBC于点F,连接DF

1)当AD4时,求EF的长度;

2)求DEF的面积的最大值;

3)设ODF的中点,随着点D的运动,则点O的运动路径的长度为______

【答案】1,(26,(3

【解析】

1)利用勾股定理可求出AB的长,根据∠A=∠A,∠EDA=∠C90°可证明AED∽△ABC,即可求出AECE的长,由∠EDA=∠DEF90°可得EF//AB,即可证明CEF∽△ACB,根据相似三角形的性质即可求出EF的长;(2)设ADx.AED∽△ABC可得,即可用x表示出DEAE的长,进而可表示CE的长,由CEF∽△ACB可得,即可用x表示出EF的长,进而可用x表示出DEF的面积,根据二次函数的性质即可求出DEF的面积的最大值;(3)过CCGABG,当点DA点重合时,点OAB中点,当点D与点G重合时,点OCG的中点,当点D在点G右边时,DEAC无交点,点O不存在,设AB中点为O1CG的中点为O2,根据ABC的面积可求出CG的长,即可得O2G的长,利用勾股定理可求出BG的长,即可得O1G的长,利用勾股定理求出O1O2的长即可.

1)∵在RtABC中,∠C90°

AB10

DEAB

∴∠EDA90°

∵∠A=∠A,∠EDA=∠C90°

∴△AED∽△ABC

AEAB5

CEACAE853

DEAB

∴∠DEF90°

∵∠EDA=∠DEF90°

EFAB

CEF∽△ACB

EF·AB

2)解:设ADx.

∵△AED∽△ABC

DE·BCxAE·ABx

CEACAE8x

∵△CEF∽△ACB

EF·AB10x

SDEFDE·EF=-x2x=-(x)26

∴当x时,SDEF取最大值为6

因此,DEF的面积的最大值为6

3)过CCGABG

当点DA点重合时,点OAB中点,当点D与点G重合时,点OCG的中点,当点D在点G右边时,DEAC无交点,点O不存在,设AB中点为O1CG的中点为O2

O1O2为点O的运动路径的长度,

SABC=ACBC=ABCG

CG===

O2G=CG=BG==

AB=10

O1B=5

O1G= O1B-BG=

O1O2===.

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A. 4B. 6C. D. 2

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