Question

【题目】如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF，若AB＝2，∠DCF＝30°，则EF的长为（　　）

A. 4B. 6C. D. 2

Answer 1

【答案】A

【解析】

求出∠ACB＝∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF＝60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF＝CF，根据矩形的对边相等可得CD＝AB，然后求出CF，从而得解．

∵矩形对边AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵O是AC的中点，

∴AO＝CO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE(ASA)，

∴OE＝OF，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形，

∵∠DCF＝30°，

∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，

∴△CEF是等边三角形，

∴EF＝CF，

∵AB＝2，

∴CD＝AB＝2，

∵∠DCF＝30°，

∴CF＝=2÷＝4，

∴EF＝4，

故选A．