【题目】问题情填,
在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动,如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD、并且量得AB=2cm,AC=4cm.
操作发现:
(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到加图2所示的△AC′D,过点C作AC′的平行线,与DC′的延长线交于点E,则四边形ACEC'的形状是_________;
(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图3所示的△AC′D,连接CC′,取CC'的中点F,连精AF并延长到点G,使FG=AF,连接CG,C′G,得到四边形ACGC′,发现它是正方形,请你证明这个结论.
实践探究:
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A′点,A′C与BC′相交于点H.如图4所示,连接CC',试求CH的长度.
【答案】(1)菱形;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)在图一中,利用矩形的性质和平行线的性质可得出∠ACD=∠BAC,在图2中,由旋转知AC=AC',∠AC'D=∠ACD,可得∠CAC'=∠AC'D,可得AC∥C'E,证得四边形ACEC'是平行四边形,又AC=AC',证得ACEC'是菱形
(2)在图1和图3中,根据矩形的性质和旋转的性质证明∠BAC+∠DAC'=90°,根据中点可得CF=C'F,AF=FG,可得到四边形ACGC'是平行四边形,又因为AG⊥CC',证得ACGC'是菱形,由∠CAC'=90°,故证得菱形ACGC'是正方形;
(3)在Rt△ABC中,AB=2,AC=4,可求得sin∠ACB=,由(2)结合平移知,∠CHC’=90°,再利用解直角三角形求出BH=BC·sin30°=,进而求得C’H=BC’-BC=4-,CH=AC-AH=4-1=3,最后在Rt△CHC’中,利用锐角三角函数的定义求得tan∠C’CH==.
解:(1)在如图1中,
∵AC是矩形ABCD的对角线,∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,
在如图2中,由旋转知,AC'=AC,∠AC'D=∠ACD,
∴∠BAC=∠AC'D,
∵∠CAC'=∠BAC,
∴∠CAC'=∠AC'D,
∴AC∥C'E,
∵AC'∥CE,
∴四边形ACEC'是平行四边形,
∵AC=AC',
∴ACEC'是菱形,
故答案为:菱形;
(2)在图1中,∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠CAD=∠ACB,∠B=90°,
∴∠BAC+∠ACB=90°
在图3中,由旋转知,∠DAC'=∠DAC,
∴∠ACB=∠DAC',
∴∠BAC+∠DAC'=90°,
∵点D,A,B在同一条直线上,
∴∠CAC'=90°,
由旋转知,AC=AC',
∵点F是CC'的中点,
∴AG⊥CC',CF=C'F,
∵AF=FG,
∴四边形ACGC'是平行四边形,
∵AG⊥CC',
∴ACGC'是菱形,
∵∠CAC'=90°,
∴菱形ACGC'是正方形;
(3)在Rt△ABC中,AB=2,AC=4
∴BC’=AC=4,BD=BC=2,sin∠ACB=
∴∠ACB=30°
由(2)结合平移知,∠CHC’=90°
在Rt△BCH中,∠ACB=30°
∴BH=BC·sin30°=
∴C’H=BC’-BC=4-
在Rt△ABH中,AH=AB=1
∴CH=AC-AH=4-1=3
在Rt△CHC’中,tan∠C’CH==
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+2与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-经过点A和点C(4,0).
(1)求该抛物线的表达式.
(2)连接CB,并延长CB至点D,使DB=CB,请判断点D是否在该抛物线上,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,过点C作x轴的垂线EC与直线y=2x+2交于点E,以DE为直径画⊙M,
①求圆心M的坐标;②若直线AP与⊙M相切,P为切点,直接写出点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC,交BC边于点E,交AD边于点F,分别连接AE、CF,若AB=2,∠DCF=30°,则EF的长为( )
A. 4B. 6C. D. 2
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB=12,C是线段AB上一点,分别以AC、CB为边在A的同侧作等边△ACP和等边△CBQ,连接PQ,则PQ的最小值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图,在平面上取定一点O称为极点;从点O出发引一条射线Ox称为极轴;线段OP的长度称为极径.点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定,即P(3,60°)或P(3,﹣300°)或P(3,420°)等,则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是( )
A. Q(3,240°) B. Q(3,﹣120°) C. Q(3,600°) D. Q(3,﹣500°)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC,小丽同学在点A处,测得条幅顶端D的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后,又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°,已知测点A.B和C离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D点距离地面的高度
(计算结果精确到0.1米,参考数据≈1.414, ≈1.732)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,矩形纸片ABCD,AD=4,AB=3,如果点E在边BC上,将纸片沿AE折叠,使点B落在点F处,联结FC,当△EFC是直角三角形时,那么BE的长为( )
A. 1.5B. 3
C. 1.5或3D. 有两种情况以上
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD(不是正方形),且点C和点D均在小正方形的顶点上;
(2)在图中画出以线段AB为一腰,底边长为的等腰三角形ABE,点E在小正方形的顶点,则CE= ;
(3)F是边AD上一动点,则CF+EF的最小值是 .
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com