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【题目】问题情填,

在综合与实践课上,老师让同学们以矩形纸片的剪拼为主题开展数学活动,如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD、并且量得AB2cmAC4cm.

操作发现:

(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到加图2所示的△AC′D,过点CAC′的平行线,与DC′的延长线交于点E,则四边形ACEC'的形状是_________

(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使BAD三点在同一条直线上,得到如图3所示的△AC′D,连接CC′,取CC'的中点F,连精AF并延长到点G,使FGAF,连接CGC′G,得到四边形ACGC′,发现它是正方形,请你证明这个结论.

实践探究:

(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A′点,A′CBC′相交于点H.如图4所示,连接CC',试求CH的长度.

【答案】1)菱形;(2)见解析;(3

【解析】

1)在图一中,利用矩形的性质和平行线的性质可得出∠ACD∠BAC,在图2中,由旋转知ACAC'∠AC'D∠ACD,可得∠CAC'∠AC'D,可得AC∥C'E,证得四边形ACEC'是平行四边形,又ACAC',证得ACEC'是菱形

2)在图1和图3中,根据矩形的性质和旋转的性质证明∠BAC+∠DAC'90°,根据中点可得CFC'FAFFG,可得到四边形ACGC'是平行四边形,又因为AG⊥CC',证得ACGC'是菱形,由∠CAC'90°,故证得菱形ACGC'是正方形;

3)在RtABC中,AB=2AC=4,可求得sin∠ACB=,由(2)结合平移知,∠CHC’=90°,再利用解直角三角形求出BH=BC·sin30°=,进而求得C’H=BC’-BC=4-CH=AC-AH=4-1=3,最后在RtCHC’中,利用锐角三角函数的定义求得tan∠C’CH==.

解:(1)在如图1中,

∵AC是矩形ABCD的对角线,∴∠B∠D90°AB∥CD∴∠ACD∠BAC

在如图2中,由旋转知,AC'AC∠AC'D∠ACD

∴∠BAC∠AC'D

∵∠CAC'∠BAC

∴∠CAC'∠AC'D

∴AC∥C'E

∵AC'∥CE

四边形ACEC'是平行四边形,

∵ACAC'

∴ACEC'是菱形,

故答案为:菱形;

2)在图1中,四边形ABCD是矩形,

∴AB∥CD

∴∠CAD∠ACB∠B90°

∴∠BAC+∠ACB90°

在图3中,由旋转知,∠DAC'∠DAC

∴∠ACB∠DAC'

∴∠BAC+∠DAC'90°

DAB在同一条直线上,

∴∠CAC'90°

由旋转知,ACAC'

FCC'的中点,

∴AG⊥CC'CFC'F

∵AFFG

四边形ACGC'是平行四边形,

∵AG⊥CC'

∴ACGC'是菱形,

∵∠CAC'90°

菱形ACGC'是正方形;

3)在RtABC中,AB=2AC=4

∴BC’=AC=4BD=BC=2sin∠ACB=

∴∠ACB=30°

由(2)结合平移知,∠CHC’=90°

RtBCH中,∠ACB=30°

∴BH=BC·sin30°=

∴C’H=BC’-BC=4-

RtABH中,AH=AB=1

∴CH=AC-AH=4-1=3

RtCHC’中,tan∠C’CH==

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