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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线y2x2x轴,y轴分别交于点AB,抛物线y=ax2bx经过点A和点C(4,0).

1)求该抛物线的表达式.

2)连接CB,并延长CB至点D,使DB=CB,请判断点D是否在该抛物线上,并说明理由.

3)在(2)的条件下,过点Cx轴的垂线EC与直线y2x2交于点E,以DE为直径画⊙M

①求圆心M的坐标;②若直线AP与⊙M相切,P为切点,直接写出点P的坐标.

【答案】1;(2)在,理由见试题解析;(3①M07);②P(-44)或P33).

【解析】

试题(1)求出AB的坐标,然后代入抛物线的解析式即可;

2)过点DDF垂直x轴于点F,由△CDF∽△CBO得到D的坐标,代入抛物线进行检验;

3先求出E的坐标,设DEy轴的交点为M′,证明M′就是圆心M,得出M的坐标;

P(xy),则直线PA⊥MA,且MA=5,因为两条直线垂直,它们的k相乘为-1以及两点间距离公式,得到方程组,解方程组即可得到P的坐标.

试题解析:(1)依题意,可知 A(-10),B02),抛物线经过点AC (40)所以有,解得

2)点D在该抛物线上.依题意,可得BO=2CO=4.过点DDF垂直x轴于点F∴△CDF∽△CBO∴DF=4OF= CFOC =4∴ D(-44).D在该抛物线上;

3由题意可知E410),设DEy轴的交点为M′∵M′B∥EC∴D M′=EM′∴M′ ⊙M的圆心M∴M07).

P(xy),则直线PA⊥MA,且MA=5直线PA⊥MA,解得:∴P(-44)或P33).

练习册系列答案
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点Ax轴上,点Cy轴上,点B的坐标为(84),动点D从点O向点A以每秒两个单位的速度运动,动点E从点C向点O以每秒一个单位的速度运动,设DE两点同时出发,运动时间为t秒,将△ODE沿DE翻折得到△FDE

1)若四边形ODFE为正方形,求t的值;

2)若t2,试证明AFC三点在同一直线上;

3)是否存在实数t,使△BDE的面积最小?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

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【题目】如图,在RtABC中,∠C90°AC8BC6DAB边上的动点,过点DDEAB交边AC于点E,过点EEFDEBC于点F,连接DF

1)当AD4时,求EF的长度;

2)求DEF的面积的最大值;

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【题目】如图山坡上有一根旗杆AB,旗杆底部B点到山脚C点的距离BC米,斜坡BC的坡度i=1 .小明在山脚的平地F处测量旗杆的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°,旗杆底部B的仰角为20°

1)求坡角∠BCD

2)求旗杆AB的高度.

(参考数值:sin20°≈0.34cos20°≈0.94tan20°≈0.36

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【题目】如图,在ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交ACBC于点DEBC的延长线与⊙O的切线AF交于点F

(1)求证:∠ABC=2CAF

(2)若AC=2CEEB=1:4,求CEAF的长.

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【题目】如图1,抛物线x轴于点,交y轴于点C

求抛物线的解析式;

如图2D点坐标为,连结若点H是线段DC上的一个动点,求的最小值.

如图3,连结AC,过点Bx轴的垂线l,在第三象限中的抛物线上取点P,过点P作直线AC的垂线交直线l于点E,过点Ex轴的平行线交AC于点F,已知

求点P的坐标;

在抛物线上是否存在一点Q,使得成立?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.

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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3=0有两个不相等的实数根

(1)求k的取值范围;

(2)若k为大于3的整数,且该方程的根都是整数,求k的值.

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【题目】如果三角形的两个内角αβ满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为准互余三角形”.

(1)若ABC准互余三角形”,C>90°,A=60°,则∠B=   °;

(2)如图①,在RtABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明ABD准互余三角形.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得ABE也是准互余三角形?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.

(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BDCD,ABD=2BCD,且ABC准互余三角形,求对角线AC的长.

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【题目】问题情填,

在综合与实践课上,老师让同学们以矩形纸片的剪拼为主题开展数学活动,如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD、并且量得AB2cmAC4cm.

操作发现:

(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到加图2所示的△AC′D,过点CAC′的平行线,与DC′的延长线交于点E,则四边形ACEC'的形状是_________

(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使BAD三点在同一条直线上,得到如图3所示的△AC′D,连接CC′,取CC'的中点F,连精AF并延长到点G,使FGAF,连接CGC′G,得到四边形ACGC′,发现它是正方形,请你证明这个结论.

实践探究:

(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A′点,A′CBC′相交于点H.如图4所示,连接CC',试求CH的长度.

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