Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=1，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m （am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有_____________ （填序号）

Answer 1

【答案】①③④⑤

【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：a<0，c>0，-=1，

∴b=-2a>0，∴abc<0，此结论正确；

②当x=-1时，由图象知y<0，

把x=-1代入解析式得：a-b+c<0，

∴b>a+c，

故②错误；

③图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：a<0，c>0，-=1，

∴b=-2a，

∴4a+2b+c=4a-4a+c>0，

∴③正确.

④∵由①②知b=-2a且b>a+c，

∴2a<3b，④正确.

⑤∵x=1时，y=a+b+c（最大值），

x=m时，y=am2+bm+c，

∵m≠1的实数，

∴a+b+c>am2+bm+c，

∴a+b>m(am+b).

故选：B.

“点睛”此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练应用.