Question

9．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的角平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F；
（1）问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．
（2）若AC=6，BC=8，则CF的长为多少？

Answer 1

分析 （1）首先利用垂直的定义证得四边形CFDE是矩形，然后利用角平分线的性质得到DE=DF，从而判定该四边形是正方形．
（2）由勾股定理求出AB，由正方形的性质得出CF=DF=DE，设CF=DF=DE=x，则△ABC的面积=△ABD的面积+△BDE的面积+正方形CFDE的面积+△ADF的面积，解方程即可．

解答 解：（1）四边形CFDE是正方形，理由如下：
∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形DECF为矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，
∴D为△ABC的内心，
∴DF=DE，
∴四边形CFDE是正方形．
（2）∵∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵四边形CFDE是正方形，
∴CF=DF=DE，
设CF=DF=DE=x，
则△ABC的面积=△ABD的面积+△BDE的面积+正方形CFDE的面积+△ADF的面积
=$\frac{1}{2}$×10x+$\frac{1}{2}$（8-x）x+x²+$\frac{1}{2}$（6-x）x=$\frac{1}{2}$×6×8，
解得：x=2，
即CF的长为2．

点评 本题主要考查了角平分线的性质，三角形的内切圆与内心，解题的关键是利用正方形的判定方法证得四边形CFDE是正方形．